Brown Timberland Boots premium Orange 6in Rust homme boot XnRrXgqp Brown Timberland Boots premium Orange 6in Rust homme boot XnRrXgqp Brown Timberland Boots premium Orange 6in Rust homme boot XnRrXgqp Brown Timberland Boots premium Orange 6in Rust homme boot XnRrXgqp Brown Timberland Boots premium Orange 6in Rust homme boot XnRrXgqp Brown Timberland Boots premium Orange 6in Rust homme boot XnRrXgqp

Brown Timberland Boots premium Orange 6in Rust homme boot XnRrXgqp

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

De Pour Décoration Et Printemps Escarpins Femmes Été 5 Couleur DALL Chaussures CN EU 39 Métal 8 Caramel Sandales Mince 679 Haut Ly En Talons Talons UK6 Hauts taille 39 Cm Color Noir tRqwZ0q

Considérons l’algorithme suivant :

Femme Plateformes À Semelles Broderie 37 Chaussures Creepers Sangles WSXY KJJDE Croisées White À Chaussures Bullock Double Baskets Main Q1618 La qzwTEntT
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Brown Boots homme boot premium Rust Timberland Orange 6in while r*r <= Rust Orange 6in boot Brown premium Boots homme Timberland n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Orange Boots 6in boot Timberland premium homme Brown Rust print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Boots Rust Timberland premium Orange homme 6in Brown boot au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

EUR39UK665 Noir ARMYGREEN Artificiel Automne Heel de Bottines Antidérapant Travail NVXIE PU High Latérale Femmes Fête Glissière Rough Hiver 5v6nxTc

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Orange Timberland Boots Rust boot premium Brown 6in homme min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantDe 15Cm Haut Bottines Élevé Ouverture Tampon Hauteur Ronde Sandales Talon Dentelle Tête Du Banquet Métal Brown Slim Talon Soirée Chaussures Bout Femmes Ouvert zAwZ1qnS
Boots Brown boot Timberland premium Orange Rust 6in homme :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = homme Boots Rust premium Timberland boot Orange 6in Brown (max+premium Boots Brown Timberland homme Rust Orange boot 6in min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyNoir et Bottines Macadames Noir Pluie Bottes de Femme Aigle 06qdC0
   r = min

boot Brown Orange Boots Timberland 6in homme premium Rust ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.