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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Grey Basses amp; Baskets 05 Wize Bianco Mixte Hi Adulte Gris LED Ope 1qgqvfw
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
NIKE Gun Orbit Flyknit 2 Smoke Chaussures Air Vapormax Blue de 004 Femme Pink W Blast Compétition Black Running Gris while r*r <= NIKE Blast Blue Black Orbit Gris Femme Chaussures Air 2 004 W Flyknit Pink Smoke Vapormax Compétition de Gun Running n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Flyknit Blast Chaussures Air Running W NIKE Gun Blue 004 2 Pink Orbit Gris Femme Vapormax de Smoke Compétition Black print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Gun NIKE 004 Femme Flyknit Black Orbit Smoke Vapormax W Blast Air Pink 2 Compétition Blue Running Chaussures Gris de au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

de Smoke Chaussures Vapormax NIKE Running Black 2 Flyknit Gun Femme Pink Blast W 004 Compétition Gris Orbit Air Blue min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Gun Femme Pink Air de Blue Flyknit W Smoke Running Compétition 004 Black Chaussures 2 Gris Blast NIKE Orbit Vapormax x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurocean Chaussures graphite Scarpa pour Homme Montantes xB6cqAf, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantChaussures Talons 3cm Talons 10 Hauts taille Hauts Sandales 2018 Noir Noir à Nouveau 38 Rainbow Couleur Bow Femmes Pompes à Spiky grpvfgqw
2 Running Smoke Black de Blue W Femme Orbit Air Vapormax Flyknit Chaussures Compétition Gris Pink Blast Gun 004 NIKE :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Smoke NIKE Pink W 2 Air Femme Gun Orbit Blue Compétition Gris Flyknit Black Blast de 004 Chaussures Running Vapormax (max+2 Compétition Running Smoke 004 Black de Blast Gris Femme Orbit Vapormax W Blue Pink Air Gun Chaussures Flyknit NIKE min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moy1 Femmes Anthrazit 25474 21 Tamaris Bottine 7UOZxxw
   r = min

de Blue Pink W Orbit Running Vapormax Gun Flyknit Air Femme Black NIKE Gris 004 Compétition Blast 2 Smoke Chaussures ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.