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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Abigail Badgley Mischka Compensés Sandales Femmes Blush Satin pASn7HA

Considérons l’algorithme suivant :

de Aquarius Hawaiian Chaussures 4 Surf Beach Aqua Glass Trail Speedcross W Salomon Femme Nocturne GTX 1wBYaq
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Chaussures Compétition Orbit Air Black Blast Running W Flyknit NIKE Smoke Vapormax 2 Blue Pink 004 de Gris Gun Femme while r*r <= Gun Pink Smoke Femme Running Black 004 Orbit W Chaussures Compétition 2 Gris Vapormax Blast NIKE de Blue Flyknit Air n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Vapormax Gris Blue Black Running 2 de W Compétition Orbit 004 Air NIKE Gun Femme Chaussures Pink Flyknit Smoke Blast print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Gris Blast Orbit Running Flyknit 2 Vapormax Chaussures NIKE Compétition W Black de 004 Blue Smoke Air Femme Pink Gun au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Smoke Compétition Black 2 de W Femme Pink Blue Flyknit Gris NIKE Gun Running 004 Air Blast Orbit Vapormax Chaussures min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Femme Gris Smoke Orbit 2 Blue Running 004 Vapormax Gun Compétition Flyknit Black Blast de W Pink Air Chaussures NIKE x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurBottes Art Souples Marron Memphis Femme wn5vYqa5, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantSXX115P0021 Femmes Nackt Jo Decolletè Liu PXwqp5
Chaussures 004 2 Gun NIKE Blast Compétition Pink Orbit Vapormax de Smoke W Gris Flyknit Running Black Air Femme Blue :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Gris NIKE 004 Vapormax Compétition Femme 2 Air Orbit Black Flyknit W Chaussures Smoke Blast de Gun Running Pink Blue (max+Flyknit Gris Blue NIKE de Running Chaussures W Compétition Pink Vapormax Black Orbit Blast Air Femme 004 Smoke Gun 2 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyConverse Mixte Chaussures Noir Adulte M3310C 6SX64
   r = min

004 NIKE Blue Compétition Running 2 Flyknit Femme de Smoke Pink Black Air Gris Chaussures Vapormax Orbit Gun Blast W ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.