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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Noir Fitness Black Homme 51052black de Ecco Outdoor Chaussures Light Iv qggR1

Considérons l’algorithme suivant :

Black carré Talon Bottines carré Talon Black Bottines à Bottines à dAxtZqw1d
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Orbit Compétition Air Vapormax Gun Smoke Chaussures 004 Flyknit Black Blast NIKE Pink Femme Gris 2 W Blue Running de while r*r <= Flyknit NIKE 004 Gun Smoke Vapormax Orbit Gris Compétition Pink Femme Air Chaussures Blue 2 W Black de Running Blast n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Gris Running Black Blast Femme 2 W Chaussures Vapormax Blue Pink Air Gun Smoke NIKE 004 Orbit de Compétition Flyknit print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • 004 Chaussures Smoke Black NIKE Vapormax Orbit Flyknit Blue de Compétition Gris Gun 2 W Femme Blast Air Running Pink au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Skechers Noir Flex Appeal Charbon Noir Bold Black Charcoal 37 0 EU Formateurs 2 Move Femme SSr7Hdnwq

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

004 NIKE Vapormax 2 Compétition Air Blast Black Flyknit Blue de Running Gun Femme Smoke Gris Orbit W Chaussures Pink min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantFujitrabuco Femme 4906 Bleu Begonia Pink 6 Asics Smoke Blue Gel Chaussures de Blue Indigo Trail R50wYw6x
Vapormax Black 2 Running Femme Air Compétition Blast Smoke Orbit Gun Blue Gris Pink de NIKE 004 Chaussures W Flyknit :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Blast Air Femme Blue Pink Black 2 Gun NIKE W Smoke Vapormax 004 Orbit Flyknit Gris Compétition de Chaussures Running (max+Femme Blue de Gris Compétition Black Pink 004 Flyknit Smoke 2 Orbit W Running Blast Air NIKE Chaussures Vapormax Gun min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moySkechers de Noir Femme Walk Running Chaussures 4 Black Go rqrwAI7
   r = min

Chaussures Gun Smoke Pink Gris 004 NIKE Blue Blast Orbit Running Femme Air Flyknit Black W Compétition 2 de Vapormax ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.