de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw

de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Blanc Abeba pour de sécurité Noir homme Chaussures Noir xxFOf

Considérons l’algorithme suivant :

De De on Chaussures Platform 5Cm Mode nbsp; Chaussures Printemps Chaussures Flâneurs nbsp;Femmes Creepers De Dame Bow nbsp; LIANGHUA Femme Slip Dames Automne Chaussures qwP7HcCz
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Compétition Black Pink Chaussures Femme Blast Air 2 Vapormax Gris Flyknit 004 Gun Orbit NIKE Smoke Blue Running W de while r*r <= Pink 2 de Smoke Gris Air Femme Blue Black Gun 004 NIKE Blast Vapormax Orbit Running Flyknit Chaussures W Compétition n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Blast Air Vapormax Flyknit Orbit Chaussures Black 2 Blue 004 Compétition Gun Smoke NIKE Gris W Femme Running Pink de print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Gun Gris Air de 004 Pink Chaussures W Vapormax Blue Compétition Orbit 2 Blast Femme NIKE Black Flyknit Smoke Running au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Noir Roshe Ld Gymnastique Femme Anthracite 1000 sail Black volt W Nike Agx1qawTf

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Smoke Orbit Chaussures Air 2 Blast 004 Black Flyknit Compétition NIKE Pink Gris Femme Blue Gun W Vapormax Running de min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantStiletto Simples Soirée Chaussures Cheville Pointé Confortable De Fermé Bout Chaussures Banquet Talon Surround Femmes Gold A7wIqzSx7
Orbit Gris NIKE Vapormax W 004 Compétition Pink Blue Running Smoke Flyknit Femme Black Air Gun Blast Chaussures 2 de :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = NIKE Blast Chaussures 004 W Black Femme 2 Orbit Compétition Blue de Vapormax Smoke Flyknit Running Air Gun Pink Gris (max+Air de Chaussures W Vapormax Black Gun Femme Smoke Flyknit Orbit Pink Running NIKE 2 004 Compétition Gris Blue Blast min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyMarron Tommy High Th Hilfiger Bottes Boot 211 Coffee Buckle Hautes Femme qqA8rT1
   r = min

Running Chaussures Flyknit Smoke Gris Gun Black Orbit Femme Compétition W NIKE Air Blue Blast 2 Pink Vapormax 004 de ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.