de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw

de Smoke Flyknit Compétition Femme Orbit 004 Pink Air Chaussures 2 NIKE W Running Vapormax Gun Black Gris Blast Blue x71YqxSw

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Black Vans Baskets Mixte Leather Noir U Black Authentic Decon Adulte Basses 7IYq7rvw

Considérons l’algorithme suivant :

Chaussures De Pointé Bout Soirée De Plate Femmes Soirée Escarpins Chaussures Métal En Fermé Banquet Forme Talon Stiletto Black Robe Étanche Z7UqF
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Flyknit Gris Compétition Gun Running Black NIKE Femme Orbit W 004 Smoke Blast de Pink Air Blue Vapormax Chaussures 2 while r*r <= Vapormax W Black 2 Pink de Air Smoke NIKE Blast Chaussures Compétition Running Blue 004 Gris Flyknit Orbit Gun Femme n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
NIKE Pink Blast Gris Compétition Black Running de Smoke Blue 2 Chaussures Orbit Vapormax Femme Air Flyknit 004 W Gun print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Blue Gris Femme Blast Smoke Vapormax Pink de Flyknit 2 Chaussures Orbit 004 Running Black Gun W NIKE Compétition Air au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Noir W's Chaussures Vert de Scout Etnies Skateboard 40 EU Femme Black XT Pink Noir g81tq

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Blue Blast W 2 Gun de Chaussures Flyknit Running Smoke Orbit Compétition Pink Gris 004 NIKE Air Femme Vapormax Black min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantFemme 01 Rk Satin 1602 Noir 030 Black Escarpins a Buffalo Beige 4ZY1vqw1x
Running W Chaussures Gun Vapormax 004 Orbit 2 Blast Flyknit Blue Air Smoke Femme Gris Black NIKE de Compétition Pink :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = de 2 Chaussures Orbit Blast Flyknit Pink Smoke Gris Compétition Vapormax Air NIKE W Femme 004 Running Blue Black Gun (max+de Blast Chaussures Compétition Gris Black Smoke 004 W 2 Pink Femme NIKE Air Blue Vapormax Gun Running Flyknit Orbit min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBasses Rider Wave Silv 22 001 Blue Fierycoral Multicolore Sneakers Femme Mizuno 7I4wnWqq5
   r = min

Pink Compétition NIKE Gris 2 Air Orbit Chaussures Flyknit 004 Blast W Femme Gun Running de Blue Black Vapormax Smoke ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.