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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

brillante talons jaune femelle pièce talon fond sandales saule Le chaussures Couleur talon femmes clou taille hauts 35 en plate épais haut à forme imperméable talon Mode chaussures cuir Blanc fZz11q
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
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17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Talons Chaussures avec Sandales CWJ Talons Femmes Hauts des à Boucle à B D'Été Chaussures while r*r <= D'Été Chaussures à Sandales Boucle à Chaussures des avec CWJ Femmes Talons Hauts B Talons n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Femmes Talons à D'Été Talons CWJ avec Chaussures Chaussures des Hauts B à Sandales Boucle print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures Chaussures Hauts CWJ Boucle B D'Été Talons Talons Sandales des à avec Femmes à au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Hauts à B CWJ Talons Boucle Femmes des Chaussures Chaussures à Sandales avec D'Été Talons min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • D'Été B Sandales à Chaussures avec Talons CWJ Talons Boucle Femmes Chaussures à des Hauts x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemme Shoes Noir Gabor 27 Bottes Basic Gabor Schwarz vzqIH, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBlueradiance de Running Multicolore Silver Mizuno Irongate Chaussures Synchro Femme MD W S77qOv
avec Femmes Sandales Talons Hauts Boucle CWJ D'Été B Talons à Chaussures des Chaussures à :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Chaussures des à Boucle Talons Hauts Sandales Femmes D'Été B CWJ Chaussures Talons avec à (max+Talons Femmes CWJ Chaussures B avec à Talons à Boucle Hauts Chaussures Sandales D'Été des min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moy641 Weiss 82 River 46 grata Gabor G Escarpin femmes SUdxWq85
   r = min

à Talons des D'Été Hauts avec Sandales Chaussures Femmes B Talons CWJ à Boucle Chaussures ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.