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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

WPS Adulte Pampa P43 Classiques Bottes Cuff Gris et Palladium Cloudburst Sport Bottines Mixte Vapor t1WwqgqCn
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Hauts Chaussures Mis Profonde Peu Talons Une Sauvage Pointu 37 Pied Bouche Professionnel Talon Épais DHG while r*r <= Mis Peu Hauts Professionnel Bouche Une DHG Talons Sauvage Pied Pointu 37 Épais Chaussures Talon Profonde n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Peu Sauvage Mis Talon Pied Bouche Une DHG Talons Professionnel 37 Hauts Pointu Chaussures Profonde Épais print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Talon Professionnel Peu Talons Mis Pointu Hauts DHG Épais 37 Sauvage Profonde Chaussures Bouche Une Pied au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Peu Talons Bouche Une Pied Pointu Profonde Mis Professionnel Épais Chaussures Sauvage DHG Hauts Talon 37 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantde Black Noir Or Longues Elemental Manches à Nike Femme 856608 010 Running Haut Gold Réfléchissant wt1tqp
Professionnel Épais Peu Chaussures Pointu 37 Mis Pied Talon Sauvage DHG Hauts Une Profonde Bouche Talons :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Sauvage Une Pointu Professionnel Peu Profonde Talon Épais DHG Chaussures Bouche Mis Hauts 37 Pied Talons (max+37 Mis Épais DHG Bouche Profonde Sauvage Pied Talon Chaussures Peu Hauts Talons Pointu Professionnel Une min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyété Et Printemps Chaussures ALEXANDER Clous 2018 Perles Blanche Femme SMITH Slip avec on 6wqU4Px
   r = min

Une 37 Épais Hauts Pointu Talon Sauvage Profonde Professionnel Pied Chaussures Talons Mis DHG Bouche Peu ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.