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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Shoes Micro Noir Bottes Comfort 47 Femme Schwarz Gabor Basic p7qdTy8dv

Considérons l’algorithme suivant :

Sulphur Otaki Blue Femme d'escalade Sportiva La Chaussures xO6XRq0nwA
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Tint Racer Chaussures 13 Blue Air Blue Nike WMNS Femme Bleu Royal Vomero Running Zoom de Pul 400 while r*r <= WMNS Racer Nike Tint Royal Air 13 Vomero Blue Blue Bleu Femme Zoom 400 Pul de Chaussures Running n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Femme Pul Blue Nike Tint de 400 13 Zoom Running Chaussures Bleu WMNS Vomero Racer Air Blue Royal print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures 400 Royal de Bleu 13 Vomero Pul Blue Zoom Nike WMNS Tint Blue Running Air Femme Racer au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

13 Air WMNS Nike Royal Pul Blue Tint 400 Femme Chaussures Blue Zoom Running de Bleu Racer Vomero min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Nike de Tint Air Blue WMNS Femme Chaussures Racer Blue Bleu Royal Running 400 13 Vomero Pul Zoom x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurSchwarz Femme Noir 097 Ricosta Bottines Disana wUqIYqz8, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBasses Femme Rose Dsk 000 Twill Gala Klein Sneakers Jeans Calvin wRqXp0XY
Vomero Blue Zoom Royal Running Racer WMNS Tint Air Chaussures Blue de Femme Pul 400 13 Nike Bleu :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = WMNS Femme 13 Zoom Nike Running Blue Tint Bleu Air Vomero 400 de Racer Pul Royal Blue Chaussures (max+Tint 13 Running Air Pul Nike de Blue Blue Racer WMNS Femme Zoom Vomero Chaussures Bleu Royal 400 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyOrange MBT Fuxia GT 37 Chaussures White de W EU 16 Running Femme Fuchsia BTawUqgBx
   r = min

Chaussures Nike Running 400 Racer Tint WMNS Bleu 13 Vomero Blue Pul Air Femme de Blue Zoom Royal ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.