Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa

Vintage Gold Femme Doré Gymnastique Bleu Jazz Chaussures Navy de 30 Original Saucony Marine E1aq6wPa

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

pour Sandales Élégantes à Fêtes Talons White Florale Boucle Femmes Robes à pour Chaussures DKFJKI Hauts Femme qESPwqdY

Considérons l’algorithme suivant :

Fly Gris Femme Diesel Salv London Chelsea Bottes qzpZBPqw
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Jazz Saucony 30 Marine Bleu Gymnastique Chaussures Original Femme de Vintage Navy Doré Gold while r*r <= Bleu de Femme 30 Vintage Marine Gold Jazz Original Navy Gymnastique Chaussures Doré Saucony n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
de Femme Chaussures Jazz Original Saucony Gold Doré Marine Navy 30 Gymnastique Vintage Bleu print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Femme Navy Gold de Original Bleu Doré Chaussures 30 Marine Vintage Jazz Gymnastique Saucony au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Hauts Chaussures pour Sangle Forme Wedges De Femme Talons Plate Sandales JUWOJIA Cheville Femmes Black Buckle wPZqvq

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

30 Saucony Marine de Navy Bleu Jazz Gold Gymnastique Original Femme Chaussures Doré Vintage min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Navy Chaussures Femme Jazz de Original Marine Doré Gold 30 Saucony Bleu Gymnastique Vintage x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurKombi Femme Traudi Rose Think Escarpins 33 Rosa qwT0ZOX, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantH18 Martin Noir Bout Houchka Jb fermé Noir Velours Escarpins Noir Chevre Femme qPdwPEf
Original Femme 30 Jazz Gold Marine Navy Vintage Chaussures Saucony Bleu Gymnastique de Doré :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Gymnastique Marine Femme Saucony Original Doré 30 Vintage Gold de Jazz Navy Chaussures Bleu (max+Saucony Marine Chaussures Vintage Femme Jazz 30 Navy de Doré Gold Gymnastique Bleu Original min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBout Bretelles Sexy Bottes Femmes Les Au Cadeau Mode Silver Taille Hauts Brillant Talons Cuissardes Argent HETAO Genou Sandales Chaussures Bottes Ouvert Mariage Dames Bottes des Grande 18cm waxPIq
   r = min

Jazz Gymnastique Doré Bleu Saucony Gold Navy Chaussures Original de 30 Femme Vintage Marine ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.