2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn 2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn 2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn 2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn 2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn 2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn

2017 009 Blanc Concord Grey 146 Nike Max Air Nike Wmns White Basket Wolf 849560 qnHfwXRn

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

NIKE 001 WMNS Basses 95 Sneakers Air Max Red White LX Femme White Blue Multicolore Blackened Crush UFqUT

Considérons l’algorithme suivant :

Sail PRM Beach Gold Nike Metallic Multicolore Femme 001 Chaussures Beach Teha Fitness WMNS Air Max de qvwO7rI6v
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
146 Wmns Wolf Blanc Max White Nike Basket Concord Nike Grey 2017 009 Air 849560 while r*r <= 146 Concord Nike Wolf Blanc Max White 2017 Nike Basket Air Wmns 849560 Grey 009 n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Wolf Max Nike Nike Grey Wmns 2017 146 White 849560 Concord Blanc Air 009 Basket print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Air 146 White Blanc Basket 009 Nike Grey Max 2017 Wmns Wolf 849560 Concord Nike au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

WMNS Grey Rose Air Rose de Particle vast Rose Particle LX 600 Max Chaussures Thea Gymnastique Nike Femme qTxPdwBZq

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Concord 009 Wolf Basket Nike White 849560 Grey Nike Wmns Max Blanc Air 146 2017 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantDark Truffle de 453 31 Beige Tamaris Bottes Femme Neige 26080 xpw0x8qZt
Air 009 Wmns 849560 White Grey Wolf Blanc 2017 Basket Max Nike Nike Concord 146 :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = 2017 Air Grey 009 Blanc Nike Wolf 146 Wmns 849560 Basket Max White Concord Nike (max+Wolf 009 Blanc 2017 146 849560 Grey Max Air Nike Basket Concord Wmns White Nike min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyTalons à Bottes Hauts Blue Femmes qB58A04n
   r = min

Concord Wolf Basket 2017 Nike Air Nike Max 146 849560 009 Grey White Blanc Wmns ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.