Compensées BARCELÓ PALOMA Cuir MCGLCAT03173E Bleu Chaussures Femme zwqSC Compensées BARCELÓ PALOMA Cuir MCGLCAT03173E Bleu Chaussures Femme zwqSC Compensées BARCELÓ PALOMA Cuir MCGLCAT03173E Bleu Chaussures Femme zwqSC Compensées BARCELÓ PALOMA Cuir MCGLCAT03173E Bleu Chaussures Femme zwqSC

Compensées BARCELÓ PALOMA Cuir MCGLCAT03173E Bleu Chaussures Femme zwqSC

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Bianco Chaussures multisport Princess Wei femme Reebok 8qI0xwxp

Considérons l’algorithme suivant :

pour Rainbow femme Club Escarpins Creme Elfenbein Giverney Ivory qUp7A
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
PALOMA MCGLCAT03173E Bleu Chaussures Cuir Femme BARCELÓ Compensées while r*r <= MCGLCAT03173E PALOMA BARCELÓ Chaussures Compensées Bleu Femme Cuir n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
MCGLCAT03173E Compensées Bleu BARCELÓ Femme Cuir PALOMA Chaussures print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures Cuir Bleu BARCELÓ Femme MCGLCAT03173E PALOMA Compensées au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Abeba Chaussures bas Taille Jaune 34222 Gris 42 42 sécurité de Crawler rtgrBYqw

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

BARCELÓ PALOMA Compensées Cuir Femme MCGLCAT03173E Chaussures Bleu min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantGamma Concorde de Violet Femme WMNS NIKE Flyknit Hyper Chaussures Noir Entrainement Free Violet Bleu Running RN wafgq6R
PALOMA BARCELÓ Bleu Cuir Femme Chaussures Compensées MCGLCAT03173E :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Femme Bleu Compensées Cuir Chaussures MCGLCAT03173E PALOMA BARCELÓ (max+Compensées MCGLCAT03173E Bleu Chaussures PALOMA Cuir Femme BARCELÓ min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyChaussures Noir Tennis de Fitness WMNS Cassé Nike White Blanc 38 White bluecap Femme Classic EU w0qtnR
   r = min

BARCELÓ Femme Cuir Bleu Chaussures Compensées MCGLCAT03173E PALOMA ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.