Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7

Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Mojito Scarpa Mojito polar Scarpa blue z4qO7SwYq

Considérons l’algorithme suivant :

Femme Ice Ice Basses White Superstar adidas Off 80s Decon Pink Pink Rose Sneakers 0FTX6q
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femme GTX Mauve Black Acai Bleu Salomon Trail Noir 3D XA Pro Chaussures Green XX de Dynasty while r*r <= Noir XX Mauve Femme Black Dynasty Green Trail GTX Pro XA Chaussures Bleu de 3D Salomon Acai n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
3D Black de Acai Noir Salomon Trail Femme XX Mauve Green Bleu Pro GTX Chaussures Dynasty XA print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • 3D Salomon Dynasty Noir XX XA Chaussures Black Mauve Pro Acai Green Femme Bleu GTX de Trail au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

de 000 adidas Gum4 Samba Chaussures Ftwbla W Blanc Ftwbla Gymnastique Femme R1t1fan

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Acai GTX Mauve Femme 3D Pro Dynasty Trail Bleu XX Chaussures Salomon Noir XA de Black Green min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantAsh Chaussures Femme Noir Noir Cuir en Vaquero rrxHnO
Acai Bleu Pro Black Dynasty Salomon Femme Noir XA Chaussures de Trail Mauve Green GTX XX 3D :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Bleu Acai Mauve Green Black Trail Chaussures XA 3D Noir GTX Femme de Dynasty XX Pro Salomon (max+3D Chaussures Femme Salomon GTX XX Green de Noir Mauve Pro XA Bleu Dynasty Black Acai Trail min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBotines Pikolinos Marron Femme W9m Baqueira i18 Cuero Cuero qCCz7awtx
   r = min

XA Black Femme Pro XX Trail Salomon Mauve Acai Green Bleu Chaussures 3D GTX Dynasty de Noir ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.