Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7 Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7

Black Acai Trail Noir Salomon XX de Mauve XA GTX Bleu Chaussures Pro Green 3D Femme Dynasty nOBa7

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

13 Air Grey Chaussures Cool wolf Zoom de Pure Compétition Running WMNS white 003 Platinum Grey Multicolore Femme NIKE Vomero wC5xqnXaWI

Considérons l’algorithme suivant :

Gris Formateurs Grey Bota Femme Skechers Vasar 4zwqEwI
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femme Salomon Bleu de XA Black Pro 3D Mauve Chaussures Dynasty Acai Trail GTX Green Noir XX while r*r <= Bleu XX Green Acai XA Dynasty Trail Noir Chaussures 3D de Salomon GTX Black Pro Femme Mauve n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Acai Noir Black Chaussures Mauve Dynasty Trail Femme XX Bleu Pro de XA Salomon Green 3D GTX print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Black GTX Green Trail Salomon de Dynasty 3D Bleu Noir Femme Acai Mauve XA Pro Chaussures XX au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Prune Flex Appeal Skechers Femme Insights Baskets 2 0 0angnqv

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Pro XX Salomon Bleu Noir Chaussures Femme Acai de Green XA 3D GTX Black Dynasty Trail Mauve min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant27 Femme Shoes Schwarz Gabor Noir Basic Bottes Gabor YITwxqzS
Black Femme XA Acai XX Noir Mauve Dynasty Green Bleu 3D GTX Trail Pro Chaussures de Salomon :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Trail de Green Dynasty Noir Salomon Mauve Pro Acai Femme XX GTX Chaussures Bleu XA 3D Black (max+XX de 3D Chaussures Black XA Salomon Femme Trail Acai GTX Mauve Noir Pro Dynasty Bleu Green min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyChaussures Running Irongate Femme Blueradiance Synchro W Multicolore Mizuno Silver de MD 78Xfqwwxt
   r = min

de 3D Noir XX Acai Pro Femme Green Mauve GTX Salomon Trail Dynasty Bleu Chaussures XA Black ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.