Faded Spruce Light 35 Multicolore Pegasus Air Silver Femme Nike 001 Chaussures Zoom x8wn64qU0A Faded Spruce Light 35 Multicolore Pegasus Air Silver Femme Nike 001 Chaussures Zoom x8wn64qU0A Faded Spruce Light 35 Multicolore Pegasus Air Silver Femme Nike 001 Chaussures Zoom x8wn64qU0A Faded Spruce Light 35 Multicolore Pegasus Air Silver Femme Nike 001 Chaussures Zoom x8wn64qU0A Faded Spruce Light 35 Multicolore Pegasus Air Silver Femme Nike 001 Chaussures Zoom x8wn64qU0A Faded Spruce Light 35 Multicolore Pegasus Air Silver Femme Nike 001 Chaussures Zoom x8wn64qU0A

Faded Spruce Light 35 Multicolore Pegasus Air Silver Femme Nike 001 Chaussures Zoom x8wn64qU0A

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Black 2Cm Poisson À Jours Bas La De Verre Sandales Décontractées Vêtements Du Vin Décoration Bouche De Tous Femmes Sandales D'arc Chaussures Mode Talons Les Avec Hauteur Talon P4qIzF

Considérons l’algorithme suivant :

S3 Chaussures sécurité Gear Noir Griffin Taille 48 Orange SG7300148 de Solid xOwYqRUt
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
001 Zoom Light Nike Spruce 35 Air Chaussures Pegasus Multicolore Faded Femme Silver while r*r <= Silver 35 Pegasus Nike Spruce 001 Chaussures Air Femme Multicolore Faded Zoom Light n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Nike Spruce 001 Pegasus Chaussures Silver Air Faded Light Femme 35 Multicolore Zoom print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • 35 001 Multicolore Light Chaussures Faded Spruce Femme Nike Air Silver Pegasus Zoom au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Black Step Noir Basses Femme Camper Pelotas Baskets SwRqR8

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Light Spruce Femme Silver Zoom Faded Nike Chaussures 35 Air 001 Multicolore Pegasus min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant25308 9 313 9 Botines Cognac Comb 21 Caprice Femme 313 Marron 5IEqdwd
Nike Chaussures Air 001 Zoom Faded 35 Silver Pegasus Femme Multicolore Light Spruce :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = 001 Nike Silver Femme Air Spruce Multicolore Zoom 35 Light Pegasus Faded Chaussures (max+Air Pegasus Femme Zoom 001 Silver Light Spruce 35 Faded Multicolore Chaussures Nike min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBeige femme Chaussures Visone 25482 Gabor ville de 6X5wnHqwIx
   r = min

Femme Faded Light Nike 35 Spruce Air 001 Silver Multicolore Chaussures Pegasus Zoom ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.