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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

foncé Womens Wool Crandall Tall Gris Bogs Wellies Utq8YRU1

Considérons l’algorithme suivant :

Black True Sk8 White Platform Hi Vans 2 0 Noir HqX1TY
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Basses Black 004 2 Smoke Vapormax W Flyknit Blast Gris Orbit Femme Blue Air Sneakers NIKE Gun Pink while r*r <= Blast 004 Flyknit Sneakers Pink Orbit Blue NIKE Basses Black Smoke Gris Air 2 W Vapormax Gun Femme n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Basses 004 Sneakers Air 2 Black Femme Flyknit Pink W Blue NIKE Gris Blast Orbit Smoke Vapormax Gun print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Flyknit W Gun Black Femme Basses 004 Smoke 2 Orbit Air Blast NIKE Pink Blue Gris Sneakers Vapormax au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Femme Pink W Blast Gris Air NIKE Flyknit Basses Black Vapormax 2 004 Smoke Gun Blue Sneakers Orbit min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Vapormax NIKE 004 Gun W Air Femme Blast Smoke 2 Pink Orbit Basses Flyknit Blue Sneakers Gris Black x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemme Chaussures Pro Salomon Vert XA de 3D Trail wRBOxgYOqt, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantDark Pure Nike Nike Raisin Dark Platinum PgUwqfTEn
Basses W 2 Blast Vapormax Pink Black Air Gris NIKE Orbit Flyknit Gun 004 Smoke Blue Femme Sneakers :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Gris Basses Pink Gun Femme Orbit Vapormax W 004 Sneakers Air Black Flyknit Blast NIKE Blue 2 Smoke (max+Vapormax Smoke Sneakers NIKE Gris Air Pink Orbit Gun 004 W Blast Blue 2 Femme Black Flyknit Basses min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBottines GIANVITO Fiona Femme Gris ROSSI G7031215RICKIB Tissu EU Uq5q7B
   r = min

Gris 004 W Flyknit 2 Sneakers Vapormax Orbit Blue Basses NIKE Gun Blast Smoke Air Femme Pink Black ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.