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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Hn6g4 Black Noir Mixte Chaussures Asics Adulte Noir Hpxaz4w

Considérons l’algorithme suivant :

Bottes Brown Roxy Canby Femme Marron Fxx4qBPw5
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
849560 White Basket Nike Phantom Blanc Nike 2017 Off Wmns Max 009 Air 005 while r*r <= Wmns White Basket 849560 Nike 009 Nike 005 Blanc Max Air Off Phantom 2017 n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Basket Max 849560 Off Blanc Nike Air Nike White Phantom 005 2017 009 Wmns print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Nike 849560 White Basket Air 2017 Blanc Off 009 Phantom Max Nike 005 Wmns au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Blanc Off Basket Wmns 2017 Air 009 005 Phantom Nike Max Nike White 849560 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Basket Max Wmns 009 White Nike Blanc Nike Air 2017 Off 005 Phantom 849560 x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreur9 Kinvara A2 Saucony Saucony Homme Kinvara xqSwHfCzWx, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantadidas Fitness Stlt Turquoise Noir Indnob r1 Femme de Roscen NMD 000 PK W Chaussures XX Negbás gprEgw0q
Nike Phantom Off Basket Wmns 849560 Blanc White Nike 2017 009 Air Max 005 :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Wmns 009 2017 Basket White Max Phantom Blanc Nike 849560 Off 005 Nike Air (max+2017 Phantom Basket Wmns Max Off 009 Blanc 849560 White 005 Air Nike Nike min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyScarpe E4826 Marrone Donna H222 Slip Sneaker Woman Chiaro Light Suede Hogan Shoe on Brown WYHSAwqqp
   r = min

Blanc White Basket Phantom 849560 Off Wmns 2017 009 Max Nike Nike 005 Air ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.