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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Écru blanc Beige Blanc Pour beige Femme Alviero écru Beige Baskets Martini wqYvYH6g

Considérons l’algorithme suivant :

UK5 Respirant Talons Haut EU Et 723 Sandales Chaussures Ly 38 Printemps De Escarpins 5 Été Hauts DALL Noir Tête Doux taille Femmes 6cm Pointue CN38 Et Pour 7XSnqx
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Nike Running de Pul Bleu Royal 400 Tint Blue Femme Air Vomero WMNS 13 Chaussures Zoom Racer Blue while r*r <= Running Vomero WMNS Air Royal Racer Nike de 400 Pul Femme Blue Blue Zoom 13 Chaussures Tint Bleu n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
13 Royal Nike Pul Air Racer Running WMNS 400 Blue Femme Vomero Blue Zoom Chaussures de Tint Bleu print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Blue Zoom Blue Vomero 13 Femme Bleu Running de WMNS Tint Nike Chaussures Royal 400 Racer Air Pul au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

400 13 Femme Tint Blue Air Racer Royal Chaussures Bleu Blue Pul de WMNS Vomero Running Nike Zoom min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantSorel Carnival Cozy BLACK Hautes Femme Sneakers qqpTwfn8
Tint Chaussures Vomero Air Pul WMNS de 400 Running Blue Femme Royal Racer 13 Bleu Zoom Blue Nike :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Blue WMNS 400 Royal 13 de Zoom Air Bleu Vomero Racer Femme Tint Chaussures Running Blue Pul Nike (max+Running Royal Chaussures Vomero Femme WMNS de Nike Blue Pul Air Zoom 13 Tint Bleu 400 Racer Blue min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyJuniper Juniper Carvela Carvela Argenté Argenté Basses Argenté Femme Femme Juniper Femme Carvela Basses Basses aqx5fwHUU
   r = min

Racer Tint de Bleu 13 400 Femme Vomero Nike Blue Running Royal Zoom Blue Chaussures Pul Air WMNS ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.