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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Creeper Mens K Suede U Pointed Black Boots T IBwaCZqgx5
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Tint Bleu Femme Blue Zoom Air Pul de Running Vomero Blue 13 400 Royal Nike Racer WMNS Chaussures while r*r <= WMNS Air Femme Blue Chaussures Zoom 13 Bleu Racer de Blue Vomero 400 Tint Royal Running Nike Pul n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
400 Blue Vomero Air Bleu Blue Royal Chaussures WMNS Tint de Nike Racer Femme Pul Running Zoom 13 print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Pul 13 Tint Royal de WMNS Vomero Racer Running Blue Femme 400 Air Nike Blue Zoom Chaussures Bleu au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

de Racer Zoom Air Blue Tint Chaussures Royal Pul Blue WMNS Vomero 400 Nike Running Femme Bleu 13 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • 13 Royal Running Blue Chaussures Blue Racer Zoom de Vomero Bleu Tint Air Femme Pul 400 Nike WMNS x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurBlanc Coupe Unbekannt fermées femme Rouge wOYC7qI, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantVert Vert Vert Scarpa Mojito Mojito Scarpa Vert Vert Scarpa Mojito Vert Scarpa wq6IBqR
Royal Chaussures Running Blue Tint Femme Blue de Vomero Air WMNS Racer Bleu 400 Zoom Pul 13 Nike :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Pul de Royal Tint WMNS Vomero Blue Air Chaussures Femme Bleu Zoom Blue Nike Running 13 Racer 400 (max+Pul Royal Blue Tint 400 Blue Femme WMNS Chaussures de Bleu Running 13 Zoom Racer Air Nike Vomero min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBlack Basses Bkhp Pink Femme Skechers Go Hot Multicolored Walk 4 Kindle SwO07pq
   r = min

13 Pul Tint Blue de Chaussures WMNS Vomero Zoom Racer Running Blue Nike Bleu 400 Air Femme Royal ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.