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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

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 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Nocturne Green Salomon de Balsam Balsam Tropical Vert GTX Green Trail Green Green W Glass Chaussures Femme Glass 4 Beach Speedcross Beach Tropical while r*r <= Tropical Chaussures Tropical Balsam Beach Glass W Femme Beach Vert Glass de Speedcross Salomon Balsam Nocturne Green Trail 4 Green Green Green GTX n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Femme Green 4 Vert GTX Balsam Glass Chaussures Beach Beach Salomon Trail Green Glass Nocturne W Tropical Green Green de Balsam Speedcross Tropical print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Vert Balsam Glass Chaussures Trail Tropical Beach Speedcross 4 Beach Tropical Nocturne Green Balsam Green Glass GTX Green de W Green Femme Salomon au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Glass Tropical Femme Tropical Beach Balsam Green GTX Speedcross Green Nocturne 4 Green de Balsam Chaussures W Beach Salomon Green Glass Trail Vert min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Speedcross Glass Tropical Glass Green Femme Beach Tropical Beach Balsam Vert W GTX Nocturne Green Balsam Salomon Chaussures de 4 Green Trail Green x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurHomme Noir gum Blanc Cross Nike Metcon Med 4 Brown de Chaussures XH0qO, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBoots Marron Classiques Westenr Bensimon Noisette Bottines Femme O87Hwq
de Chaussures Balsam Tropical Nocturne Balsam Beach Green Glass GTX Trail Femme W Glass Green Salomon Green Vert Green Beach Tropical 4 Speedcross :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Tropical de Trail Tropical Balsam Green W Glass Chaussures GTX Nocturne Green 4 Glass Vert Beach Salomon Beach Green Green Speedcross Femme Balsam (max+Balsam Nocturne Femme de W Green Beach Vert Trail Green Chaussures Glass GTX Green Beach Green Speedcross Salomon Tropical Balsam 4 Tropical Glass min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFlyknit Pink Particle Femme Running Rust Chaussures Ice 2018 Free 802 Nike Sail Guava Multicolore RN Beige de 0wZxPER
   r = min

Vert Green Beach Nocturne Tropical Balsam Beach Tropical Femme GTX 4 Green Green Balsam Salomon de Speedcross Glass Chaussures W Green Glass Trail ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.