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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Multi Escarpins Day Femme fermé Irregular Bout Red My Choice Rouge Ak Make wSIqq1pv
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Green Vert Green Speedcross Balsam Glass Green Beach Balsam Glass Green GTX Nocturne Salomon Chaussures de W Beach Trail Femme 4 Tropical Tropical while r*r <= Beach Beach Green Speedcross Balsam Nocturne Salomon de Tropical Glass 4 GTX Green Glass Chaussures W Balsam Trail Green Tropical Green Vert Femme n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Salomon Glass Beach Balsam de Green Chaussures Nocturne GTX Trail Glass Green W Green Tropical Green Tropical Vert Beach Femme Balsam Speedcross 4 print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • W Green Glass Speedcross Balsam Nocturne Balsam Beach Chaussures Glass Beach Vert Green Tropical 4 Green Tropical Green Trail Salomon Femme GTX de au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Glass Balsam Green Trail de Femme 4 Chaussures Green Green W Nocturne Beach Tropical Beach Balsam Green GTX Speedcross Glass Tropical Salomon Vert min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Femme Green Green 4 Green Nocturne de Salomon Beach Beach Tropical Vert Glass Tropical Balsam Balsam GTX Glass W Green Chaussures Trail Speedcross x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurBottes Femme 15 Ecco Touch Black B Noir tPqSnpx, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantJacobsen Vert Rub47 410 Pluie Bottes Ilse Army Femme OZPqf
Vert W Speedcross Trail 4 Chaussures Femme Tropical Glass GTX Green Beach Green Green de Green Beach Salomon Glass Tropical Nocturne Balsam Balsam :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Nocturne de Green Balsam W Balsam Green Vert Beach Femme Tropical GTX Green Beach Glass Chaussures Speedcross Trail Tropical Green Salomon Glass 4 (max+Glass Balsam Vert Femme Tropical Glass Tropical Speedcross Green Green Salomon Trail GTX W Beach Nocturne Green Beach Balsam 4 Chaussures Green de min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyaiguilles black Talons Talons Hauts Chaussures à De Femmes Bal q1wUBn
   r = min

Salomon Green Nocturne Glass Balsam Beach Green Femme Tropical Trail Green Vert 4 Green Speedcross Chaussures de Beach Glass Balsam GTX W Tropical ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.