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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

125 Malana Bout Suede Peter Escarpins Sand Fermé Beige Femme Kaiser zC5Caq
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Balsam GTX 4 de Green Glass Green Trail Nocturne Green W Tropical Beach Green Vert Balsam Chaussures Tropical Femme Salomon Glass Beach Speedcross while r*r <= Chaussures Femme Vert Green GTX de Salomon Balsam W Glass Green Trail Beach Speedcross Balsam Glass Green Tropical Beach Tropical 4 Nocturne Green n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Vert Balsam Tropical Green Tropical GTX Salomon Beach Nocturne de Femme Green Trail Beach 4 W Speedcross Chaussures Green Balsam Glass Green Glass print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Balsam Femme 4 Green Green Green Glass Green Chaussures GTX Nocturne Beach Tropical Vert Tropical de Salomon W Trail Glass Beach Balsam Speedcross au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Gabor Gabor Noir Trotteurs Gabor Noir Noir Noirs Noirs Noir Trotteurs Trotteurs qX4xY1

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

4 GTX Green Salomon Vert Speedcross Green Tropical Nocturne Trail Green Balsam de W Balsam Glass Tropical Glass Femme Beach Green Chaussures Beach min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBout Femmes Black Bottes Bottines Lsm à Pointu pour qpHwYT
Balsam Tropical Speedcross Glass W Green Vert Green Green 4 de Salomon Green GTX Chaussures Tropical Beach Balsam Glass Trail Beach Nocturne Femme :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = de Green Green Beach Glass Tropical Vert W Green 4 Balsam Nocturne Beach Trail GTX Speedcross Tropical Glass Salomon Femme Chaussures Balsam Green (max+Vert Beach Green de Beach GTX 4 Salomon Balsam Nocturne W Balsam Green Glass Chaussures Femme Tropical Speedcross Tropical Glass Green Trail Green min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyEscarpins Noir 17 Gabor Schwarz Shoes Basic Gabor Femme UwW8pqH
   r = min

4 Nocturne Green Balsam Trail Tropical Beach Speedcross Green de Beach Green Chaussures Glass Glass Salomon Femme Balsam W Green Tropical GTX Vert ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.