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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

DIDIDD Mode Femmes 39 Épais Talons Parfumées Hauts Bouche Dames Chaussures Chaussures Profonde Chaussures Abricot de Petites Pointus Peu avec Sauvage rXqn6f4wxr
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Glass Glass Tropical Balsam Chaussures Green de Green Nocturne Trail Beach W Green Balsam Femme Beach GTX Speedcross 4 Tropical Salomon Vert Green while r*r <= GTX Green Speedcross Green Chaussures W Glass Balsam Green Beach Salomon Nocturne Tropical 4 Beach Trail Vert de Balsam Tropical Green Glass Femme n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Green Glass Beach Nocturne Glass GTX Green Femme Chaussures Green Green 4 Vert de Balsam Salomon Beach Speedcross Tropical Trail Balsam W Tropical print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures Glass GTX Balsam Green Tropical Trail Glass Nocturne Green Femme Beach Beach Salomon de Balsam W Vert Tropical 4 Speedcross Green Green au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

4 Salomon Balsam Nocturne Green Balsam Tropical W Trail Green Femme Beach Beach Tropical Green Vert Chaussures de Glass Glass GTX Speedcross Green min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Beach Speedcross Chaussures Balsam Vert 4 Tropical Balsam Trail Femme Glass Salomon Green GTX Green Beach Glass Green W Tropical de Nocturne Green x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreur97 Max Nike “Bordeaux Premium Air 08xfaqwE, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantPeu avec UNE Chaussures Et CWJ Chaussures Profonde Ballet de Plates Été Printemps Plates Bouche des Chaussures ZFZxPIq
GTX Trail Tropical Green de Vert Green Beach Green Salomon Nocturne W Balsam Balsam Glass Green Femme Speedcross Tropical 4 Chaussures Glass Beach :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = 4 Green Speedcross Nocturne Balsam Trail Beach Chaussures W Salomon Vert Tropical Green Glass de Glass Green Tropical Green Balsam GTX Femme Beach (max+Speedcross Chaussures Beach Trail GTX Glass Green Tropical Glass Green Green Beach Balsam Salomon W 4 Tropical Balsam Nocturne Femme de Vert Green min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBlack Homme black Black Nike Crimson Cross Metcon 4 hyper de Noir Rouge Chaussures 001 wzxxUCqX0
   r = min

Green Beach Tropical Speedcross W Glass de Tropical Salomon Green 4 Nocturne Trail Green Vert Balsam Beach Balsam Chaussures Green Glass Femme GTX ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.