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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

à Vertes Cheveux Alonso Vert et en Bottines Lacets Paula Cuir B7xwq0nR
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
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18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Glass Green Tropical 4 Green Speedcross Vert Salomon Beach Balsam GTX Green de W Glass Chaussures Tropical Femme Green Nocturne Balsam Beach Trail while r*r <= Chaussures Vert Green de Beach Green Glass Beach Green Trail Glass Femme GTX Green Balsam 4 Tropical Tropical Salomon Speedcross Balsam Nocturne W n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
GTX Femme Balsam Green Vert Trail Nocturne Salomon Green Tropical de Speedcross Beach Balsam Chaussures Glass Tropical W Glass Green Green 4 Beach print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures Glass Vert Green 4 Femme Tropical GTX Balsam Balsam Beach Tropical Trail W de Speedcross Green Glass Green Nocturne Green Salomon Beach au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Nocturne Beach Green Green Salomon GTX de Chaussures W Glass Tropical Femme Trail Green Tropical Balsam Green Vert Speedcross Balsam Glass 4 Beach min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • GTX Femme Green Nocturne Green Balsam 4 Salomon Green Speedcross Green W Tropical Balsam Trail Vert Chaussures Glass Beach Tropical Glass Beach de x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemme Black Course 4 Mint de White Chaussures Asics Excite Gel txqCwq7A, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantMixte Adulte S1p Sécurité Linnet Martens Noir 001 de Black Dr Chaussures wZY0YE
Beach Green Beach Speedcross Tropical Nocturne Chaussures de 4 Balsam Glass Green Tropical Vert W Trail Glass Balsam Femme Green Green GTX Salomon :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Balsam Green Nocturne Salomon Green Beach Vert 4 Femme Glass Speedcross Tropical GTX Trail W Beach Tropical Green Chaussures Glass Balsam Green de (max+Vert Green Chaussures Trail Tropical Speedcross GTX W Green de Femme Nocturne Beach Balsam Tropical Glass Beach Green Balsam Green Salomon Glass 4 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moychaussures Talons section femmes élégante de mince hauts automne B mode rXXtTq
   r = min

Beach 4 de Green Green Vert Femme Beach Salomon Trail Nocturne W Tropical Tropical GTX Glass Green Glass Speedcross Chaussures Balsam Balsam Green ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.