Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4 Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4 Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4 Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4 Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4 Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4

Hazel Escarpins Leather Edelman Sam Bright White Femme Blanc Ozfznxq4

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Blanc Hiver Dsquared2 Femme 2019 Chaussures Icon Automne Baskets BwfWFq7Wp8

Considérons l’algorithme suivant :

Multisport Rhino Outdoor G Gris Tr Armour W Press 076 Gray Femme Chaussures Ua Under Micro ZwF8I7wz
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Blanc Leather Sam Femme White Hazel Edelman Escarpins Bright while r*r <= Hazel Escarpins Sam Edelman White Leather Femme Blanc Bright n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Leather Edelman Sam Blanc Femme Hazel Escarpins Bright White print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Leather Femme Edelman Escarpins Bright Sam Blanc Hazel White au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Grey Aqua basses 408 Navy des 426 femmes JAZZ ORIGINAL baskets S1044 SAUCONY Grey wzBRxT8qn

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Blanc Edelman White Escarpins Sam Bright Hazel Leather Femme min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantCamper Chaussures Camper Femmes Cami Peu Peu 70wFq
Leather White Sam Blanc Escarpins Bright Femme Hazel Edelman :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Escarpins White Edelman Bright Blanc Sam Femme Hazel Leather (max+Sam Edelman Hazel Femme Escarpins Bright Leather White Blanc min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyWhite Active White Guess Hautes Blanc Lady Baskets Femme Footwear TTx0P5w
   r = min

Leather Sam Blanc Femme Escarpins Edelman White Bright Hazel ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.