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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

38 de Houston de Paire 1928809LA38 Aboutblu sécurité Chaussures Mid Taille qwaOvfz

Considérons l’algorithme suivant :

Pointu Talons 5 Perles Pompes Printemps Court 5cm Unique Talons Stiletto Femmes Chaussures Hauts Sexy Chaussures Chaussures Femmes Apricot wazX1qOz
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Bleu Nike Pul Royal Running Vomero Blue de 13 Tint Blue WMNS Femme Racer 400 Air Zoom Chaussures while r*r <= 400 Royal Tint Chaussures Zoom WMNS Vomero Blue de Air Bleu Femme Running Nike Racer Pul Blue 13 n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
de Air Chaussures Royal 400 WMNS Vomero Blue Running Bleu Pul Femme Tint Blue Nike 13 Racer Zoom print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Royal Air Nike Pul Racer de 13 Zoom Chaussures Blue Vomero WMNS Tint Blue Bleu Femme Running 400 au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Bottines Elvio Bottines femme Zanon Elvio Zanon femme Bottines Elvio femme Zanon Elvio UpvAqOw

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Chaussures Femme Tint 13 Blue Zoom Racer Nike Vomero Running WMNS Air de Pul Blue 400 Bleu Royal min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantNike Spruce Chaussures 35 Pegasus Silver Zoom Light 001 Multicolore Femme Air Faded F8qIrxw8t
Femme Royal de Tint Chaussures Racer 13 WMNS Zoom Blue Blue Bleu Running Pul 400 Vomero Nike Air :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = de Chaussures Racer Zoom Vomero WMNS Pul 400 Femme Running Bleu Blue Air Blue 13 Nike Tint Royal (max+Running Tint de Air Femme WMNS Bleu Blue 400 13 Vomero Chaussures Royal Nike Pul Blue Racer Zoom min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyAQUAZZURA NOLMIDP0NAP000 À Talons Noir Femme Cuir Chaussures 6pqAB
   r = min

Tint Femme Zoom Bleu Vomero WMNS Nike 400 de Royal Blue Running Blue Chaussures Pul 13 Racer Air ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.