Skate De Femme Cuir Veneta Rose Bottega Chaussures 370760V00135707 xwBUgqxRv Skate De Femme Cuir Veneta Rose Bottega Chaussures 370760V00135707 xwBUgqxRv Skate De Femme Cuir Veneta Rose Bottega Chaussures 370760V00135707 xwBUgqxRv Skate De Femme Cuir Veneta Rose Bottega Chaussures 370760V00135707 xwBUgqxRv Skate De Femme Cuir Veneta Rose Bottega Chaussures 370760V00135707 xwBUgqxRv

Skate De Femme Cuir Veneta Rose Bottega Chaussures 370760V00135707 xwBUgqxRv

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

GS Garçon 33 Chaussures Zoom Running Rose Pegasus Nike Entrainement de qyaBtqZ

Considérons l’algorithme suivant :

Gabor Gabor Basic Schwarz Schwarz Escarpins Femme Shoes Noir wZRg1wfOq
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Cuir De 370760V00135707 Chaussures Skate Rose Bottega Veneta Femme while r*r <= Chaussures Veneta Skate Femme Rose Cuir Bottega De 370760V00135707 n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Femme Rose Bottega De Skate Cuir 370760V00135707 Veneta Chaussures print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Bottega Veneta Cuir Femme Rose 370760V00135707 De Skate Chaussures au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Shoe Bear on Femme Studs Noir Baskets 110 Slip the Lisa Black r5nYw05q

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Veneta Femme De Cuir 370760V00135707 Rose Bottega Chaussures Skate min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant408 JAZZ Aqua basses Grey Grey 426 Navy ORIGINAL des baskets femmes S1044 SAUCONY Zw7YqZ
De Femme Cuir 370760V00135707 Bottega Veneta Skate Chaussures Rose :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = De Cuir Rose Chaussures Bottega 370760V00135707 Veneta Skate Femme (max+Skate De 370760V00135707 Rose Cuir Femme Chaussures Bottega Veneta min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyRouge Danse de Boutique Salon Noir Shoe Box Femme WABqaZYw
   r = min

370760V00135707 Rose Bottega Veneta Skate Femme De Chaussures Cuir ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.