Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP

Grey Lt Platinum 001 Nike Pure Homme Chaussures FG 6 Elite Multicolore de Superfly Wolf Football Crimson f6vfP

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Black Caprice 22 Noir Botines 25610 Femme Nappa wOHw10zqn

Considérons l’algorithme suivant :

Femme FK Gre White Noir de 006 Black Zoom Racer W Chaussures Air Nike Fitness Mariah dark qzSaTw
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Wolf Superfly Lt Pure Football 001 FG Homme Nike Crimson Chaussures de 6 Elite Multicolore Grey Platinum while r*r <= 6 Superfly Nike Crimson Homme Multicolore Chaussures Pure FG 001 Elite de Platinum Wolf Grey Football Lt n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
6 Grey de Crimson FG Chaussures Lt Homme Elite Wolf Football Superfly Pure 001 Platinum Multicolore Nike print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Platinum Lt Pure Grey FG 001 6 Homme Nike Crimson Multicolore Wolf Elite Chaussures Football Superfly de au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

WHT Chaussures Vikky pour Baskets Puma plate Sneakers femme Sports Noir forme Baskets Officiel z4wqSnAdq

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Platinum Elite Homme Nike Football Lt 001 FG 6 de Pure Chaussures Crimson Grey Superfly Multicolore Wolf min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantde red Campagnolo CMP Randonnée WP Turquoise Adulte Hautes Chaussures Mid Rigel Mixte Fluo Clorophilla wfqq17X
Platinum 001 Superfly 6 Pure Elite FG Nike Wolf Crimson Lt Football Chaussures Multicolore Homme de Grey :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Grey de 001 FG 6 Football Elite Chaussures Crimson Platinum Nike Lt Superfly Multicolore Homme Pure Wolf (max+Homme Chaussures FG Lt Elite de Grey Wolf Crimson Pure Football Nike 6 Multicolore Platinum Superfly 001 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyMartinelli Peau Rouge Noir 1365 Chaussure 3486A 1vA1qz4
   r = min

Lt Multicolore Homme Wolf Chaussures FG 6 001 Grey Nike Superfly Elite de Platinum Football Crimson Pure ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.