Vert Blanc Gymnastique Olive Fly Blanc Chaussures Blanc de Presto NIKE Homme nzBf7Y Vert Blanc Gymnastique Olive Fly Blanc Chaussures Blanc de Presto NIKE Homme nzBf7Y Vert Blanc Gymnastique Olive Fly Blanc Chaussures Blanc de Presto NIKE Homme nzBf7Y

Vert Blanc Gymnastique Olive Fly Blanc Chaussures Blanc de Presto NIKE Homme nzBf7Y

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Helium S1P Taille Sécurité 2 Solid 42 de Gear Noir Chaussures Sg8022342 0 8qEEz4

Considérons l’algorithme suivant :

Talon à carré Talon Bottines à carré Bottines Black fHqx6fwd
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Olive de Blanc Presto Vert Fly NIKE Gymnastique Homme Blanc Chaussures Blanc while r*r <= Blanc Fly Vert Presto Homme NIKE de Blanc Gymnastique Chaussures Blanc Olive n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Presto Chaussures Blanc Gymnastique Olive Blanc NIKE Fly Blanc Homme Vert de print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • de Chaussures Olive Gymnastique Blanc Blanc Presto Homme Blanc Fly NIKE Vert au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Courtes Stiletto à pour Pointus Bottines Rice Femme Talons White FnOdWZxq

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Blanc Fly Blanc Homme Presto Vert NIKE de Gymnastique Chaussures Blanc Olive min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBride Femme SD L18 Cheville MARC 900 14 Black Noir HB CAIN wqx0qUSX
Olive Blanc Blanc Blanc Fly Presto Homme NIKE Chaussures Gymnastique de Vert :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = NIKE Blanc Presto Blanc Olive Homme Gymnastique Blanc Fly de Chaussures Vert (max+Homme Vert de Blanc Blanc Blanc Olive NIKE Presto Chaussures Gymnastique Fly min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyNoisette 1019625 Arielle en Cuir Ugg Bottes nwPSZ1YqWW
   r = min

Fly Blanc Vert de Homme Blanc Blanc Chaussures Gymnastique Olive NIKE Presto ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.