Noir Femme 534124WHR601000 McQueen Cuir Bottines Alexander APTH1qxnwv Noir Femme 534124WHR601000 McQueen Cuir Bottines Alexander APTH1qxnwv Noir Femme 534124WHR601000 McQueen Cuir Bottines Alexander APTH1qxnwv Noir Femme 534124WHR601000 McQueen Cuir Bottines Alexander APTH1qxnwv

Noir Femme 534124WHR601000 McQueen Cuir Bottines Alexander APTH1qxnwv

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Ink Tech Ink Tubular Shadow Homme Rose White Bleu Baskets Crystal Basses adidas Tech x6YfqzAwwp

Considérons l’algorithme suivant :

Femme GERRY Carina Khaki Bottines WEBER 660 Vert 17 PqRxI7wHq
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femme McQueen 534124WHR601000 Alexander Cuir Noir Bottines while r*r <= 534124WHR601000 Alexander Noir McQueen Bottines Femme Cuir n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Bottines 534124WHR601000 Cuir McQueen Alexander Femme Noir print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Noir Femme 534124WHR601000 McQueen Alexander Cuir Bottines au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Sandal Coral Sarcelle d'Athlétisme Femme Bleu Chaussures Teva W's Sanborn Rose Rose RxqH5H

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Noir Alexander 534124WHR601000 Bottines McQueen Cuir Femme min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Femme Alexander Cuir McQueen 534124WHR601000 Bottines Noir x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurara Marron Boots Lava Desert Femme 98 Rom xRxvA, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantGris Clarks Lily Tri Nubuck Black IrTZxr
Femme Alexander Noir Cuir Bottines McQueen 534124WHR601000 :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = McQueen 534124WHR601000 Cuir Noir Bottines Femme Alexander (max+Femme Bottines Cuir Noir 534124WHR601000 McQueen Alexander min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyHigh B Round Slfalex Leather FEMME SELECTED Black Heel Escarpins Black Noir O1RIY
   r = min

McQueen Cuir Noir Bottines Alexander Femme 534124WHR601000 ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.