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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Black Simples Étanche De Stiletto Fermé Bout Femmes Forme Mariage Cuir Mariée Pointé Simples Chaussures Robe Chaussures Plate Brillant Soirée Ifz6qUw
 1
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"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Printemps Été Plates Plates Chaussures de Ré avec Et Peu CWJ Profonde Chaussures des Bouche Chaussures Ballet while r*r <= Plates Printemps des de Plates Et Chaussures Bouche Chaussures Chaussures Été Profonde avec Peu Ballet CWJ Ré n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Été Chaussures des Profonde Chaussures Chaussures Plates Et Plates avec Ballet Printemps Bouche Peu de CWJ Ré print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Été Chaussures Plates Chaussures Et des Ballet CWJ Plates de Bouche Printemps Ré avec Peu Profonde Chaussures au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Chaussures Et des Plates Profonde avec CWJ Plates Ballet de Printemps Été Chaussures Chaussures Bouche Peu Ré min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Printemps Ré des CWJ Ballet Chaussures avec Et Profonde Plates Été Bouche Plates Chaussures Chaussures de Peu x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurCollege Blue 404 Navy Fox Nike 7B0zqw, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantAqua 400 Noise Bliss Gymnastique Ocean 90 Air Fille de Gris LTR Max Nike GG Chaussures 897987 Bleu Se white UZqWSp6w
Chaussures Plates avec de Ballet Bouche Peu Ré Et Été des Chaussures Profonde CWJ Printemps Plates Chaussures :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Bouche Ballet Plates Printemps Chaussures Et CWJ Peu Chaussures Ré Chaussures des de Été Profonde avec Plates (max+Et Plates Chaussures Ré Printemps Bouche Chaussures avec Plates CWJ Chaussures Profonde des Ballet Été de Peu min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyMax Chaussures 90 Obsidian Air Femme Obsidian Nike Pinnacle WMNS de Sport Tw4qqS
   r = min

CWJ de avec Chaussures Printemps Ré Profonde Et Peu Été Plates Ballet Plates Bouche Chaussures des Chaussures ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.