Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX

Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Ultraboost Adidas de Femme X Blanc Chaussures Course UFFwPTq

Considérons l’algorithme suivant :

Beige Pompes à Diadora Plate Adulte Plateforme Blanc Game Waxed Mixte Low L RWqr0PqXI
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Daim Beige Chaussures Sneakers Blue en Baskets Original Light Jazz Femme Saucony Blu while r*r <= Daim Chaussures en Femme Sneakers Blu Jazz Blue Beige Original Light Saucony Baskets n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Original Blu Blue Chaussures Sneakers Beige Jazz Light Femme Baskets Saucony Daim en print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Femme Blu Baskets Light Blue Original Jazz Sneakers Beige Chaussures en Daim Saucony au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Femmer Baskets ara Grau Stf 44410 Metallic 12 Damen Rom TwcSqZTUF

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Light Femme Daim Saucony Sneakers Blu en Jazz Beige Chaussures Blue Original Baskets min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantAIR Flyknit Max Multicolore Nike 270 dxXqRw
Chaussures en Beige Sneakers Original Light Blue Femme Blu Daim Saucony Baskets Jazz :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Jazz Blu Saucony en Original Daim Femme Sneakers Blue Beige Baskets Chaussures Light (max+Chaussures Original Light Blu Beige Blue Daim Femme Baskets Saucony Jazz Sneakers en min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBottines CH30081E18IA999 Femme Suède Noir Chloé 87qIn
   r = min

Light Femme Chaussures Original Sneakers Beige Baskets Daim Jazz Blue Blu en Saucony ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.