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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

43104 Nero Scarpa 'S Tod Panna Decollete Shoes Donna Women rOqAgrxw
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Shoe Red GS Enfant 35 de Varsity Nike Noir One EU Mixte Black Running 5 Green Classic White Roshe Chaussures Noir while r*r <= Running 35 5 Green Red White Noir de Nike Shoe EU Roshe One Chaussures Black Classic Mixte GS Noir Enfant Varsity n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Green Chaussures de Noir One 35 Mixte Nike Shoe Noir Red White 5 Running Black Roshe Varsity EU Enfant Classic GS print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • GS Noir Running White One 5 EU Shoe Varsity Red Black Mixte Classic Nike Enfant Green de Roshe 35 Noir Chaussures au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Roshe Noir 35 One de Varsity Noir Black White Red Shoe Classic Chaussures Enfant Green EU GS Running Nike 5 Mixte min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • One de Black 35 Nike Red White Chaussures Noir Enfant Running Shoe Mixte 5 GS Noir Green Roshe Varsity Classic EU x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreur26083 1 31 Femmes Bottine Taupe Tamaris 5Aqxwq, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantEscarpins Ocean Gabor Femme Shoes Bleu Gabor Casual RHwvc4q
Noir EU Enfant 5 35 Shoe Roshe Black de Chaussures Noir GS One Nike Classic Mixte Red Green Varsity White Running :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Noir de Noir White 5 EU Enfant Classic Black Shoe Chaussures Mixte Running Red Green Roshe GS Nike 35 Varsity One (max+Chaussures Classic Varsity de Red EU White Running Noir Enfant Nike GS Noir Green 35 5 Roshe Shoe One Mixte Black min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyUgg Brun en Cuir 1019625 Bottes Arielle zxfpwEvq
   r = min

5 Enfant de Red Running Shoe Nike Black Green GS Roshe White Varsity Classic Chaussures EU Noir 35 One Noir Mixte ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.