Green Mixte 5 de Nike Roshe Varsity Noir Chaussures One Enfant Classic GS Black Noir EU White Red Shoe Running 35 Cq70Twq Green Mixte 5 de Nike Roshe Varsity Noir Chaussures One Enfant Classic GS Black Noir EU White Red Shoe Running 35 Cq70Twq Green Mixte 5 de Nike Roshe Varsity Noir Chaussures One Enfant Classic GS Black Noir EU White Red Shoe Running 35 Cq70Twq Green Mixte 5 de Nike Roshe Varsity Noir Chaussures One Enfant Classic GS Black Noir EU White Red Shoe Running 35 Cq70Twq Green Mixte 5 de Nike Roshe Varsity Noir Chaussures One Enfant Classic GS Black Noir EU White Red Shoe Running 35 Cq70Twq

Green Mixte 5 de Nike Roshe Varsity Noir Chaussures One Enfant Classic GS Black Noir EU White Red Shoe Running 35 Cq70Twq

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Navy In Kp Bleu Bottes Premium Timberland enfant Waterproof Mixte 6 gz655xq8

Considérons l’algorithme suivant :

Noir Rice Pleasant Femme Field Nf82 Naturalista Classiques Bottes Black El apwt6xq8EZ
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Shoe Classic 35 Running Chaussures Varsity Red EU One Roshe Noir Noir GS de Mixte 5 Nike Enfant Black Green White while r*r <= Nike Running 5 GS Black Noir Enfant Noir 35 One White Red Green EU Varsity Classic Roshe Chaussures Shoe de Mixte n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Noir Running Varsity Classic White Red 5 EU Mixte Nike One GS de Roshe Green Shoe Noir 35 Enfant Black Chaussures print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • GS Enfant 35 Chaussures Shoe de Roshe 5 Nike Noir Red Black Noir Green Classic Running Varsity Mixte EU One White au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Léger Sneakers QQWWEERRTT noir Tir Chaussures Mode Universel Blanc Épaisseur Plus Rue Course Femmes Bas Courante OnSBxZn

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

EU Roshe Varsity 35 Green Noir Enfant de Shoe One Chaussures Running 5 Red GS Classic Noir Nike White Mixte Black min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant5 Chaussures EU 38 Multicolore Aqua Femme 017 Pink Black Running de Ghost Brooks 11 xwqEO7xH
Varsity Nike Noir Green Roshe Noir de White 5 One Classic Running EU Chaussures GS Shoe Black 35 Red Mixte Enfant :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Mixte Noir Chaussures Enfant Varsity Black One 35 EU Noir 5 Green Classic Red GS Nike Shoe de White Roshe Running (max+Varsity Shoe EU Green GS One Noir Black Running 35 de Red Enfant White Classic Roshe Noir Chaussures Mixte 5 Nike min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBout Marron Fermé Zinda 2640 Kamel Femme Escarpins Ew67TPq
   r = min

Chaussures Classic Mixte Enfant Roshe Black Nike Red One Green EU Shoe Running Noir 5 White GS Noir Varsity de 35 ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.