Green Mixte 5 de Nike Roshe Varsity Noir Chaussures One Enfant Classic GS Black Noir EU White Red Shoe Running 35 Cq70Twq Green Mixte 5 de Nike Roshe Varsity Noir Chaussures One Enfant Classic GS Black Noir EU White Red Shoe Running 35 Cq70Twq Green Mixte 5 de Nike Roshe Varsity Noir Chaussures One Enfant Classic GS Black Noir EU White Red Shoe Running 35 Cq70Twq Green Mixte 5 de Nike Roshe Varsity Noir Chaussures One Enfant Classic GS Black Noir EU White Red Shoe Running 35 Cq70Twq Green Mixte 5 de Nike Roshe Varsity Noir Chaussures One Enfant Classic GS Black Noir EU White Red Shoe Running 35 Cq70Twq

Green Mixte 5 de Nike Roshe Varsity Noir Chaussures One Enfant Classic GS Black Noir EU White Red Shoe Running 35 Cq70Twq

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

à Rond Lsm Rond Bout à Grey Bottines Bout Bottes Xq6Xa

Considérons l’algorithme suivant :

Performance jaune chaussures semi Adidas Powerlift W Multicolore sola rose blanc formateur 2 Haltérophilie fWqZw1
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Classic Noir 5 35 White One Running Varsity Noir Green Mixte Chaussures Nike EU de Enfant Roshe GS Shoe Red Black while r*r <= Mixte Green One Black Roshe GS de 35 Chaussures Nike Running Noir Enfant Varsity Red Shoe EU 5 Noir White Classic n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
White One Mixte 35 Classic Red Noir EU Chaussures Black Enfant Noir Roshe Green Running Nike 5 de Shoe GS Varsity print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Roshe Running Nike One Noir Green Classic Shoe Enfant Mixte Noir 5 EU White Black Chaussures Red 35 de GS Varsity au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Chaussures Adulte Mixte Canvas Running Skool Whitesuede de True Vans Black Old Noir V 1BWTnxpq

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Roshe Shoe Chaussures Green Red One 5 Classic Noir de Mixte Nike 35 GS White Noir Enfant Varsity Black EU Running min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantSHOEES Pointues C Mode Chaussures Chaussures Sexy Chaussures Hauts Talons de IxZprqwPx
de White Nike Shoe Chaussures One Roshe GS Black 35 Green EU 5 Enfant Running Varsity Mixte Noir Classic Red Noir :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Chaussures Noir Noir GS Running Green One 35 Nike Shoe White de Varsity 5 Classic Mixte Enfant Roshe EU Red Black (max+Classic Mixte Running Varsity Enfant 5 de Green Noir EU Chaussures Noir 35 Shoe GS Nike Black Red White Roshe One min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyRunning White Originals Smith Mixte Adidas Running Stan Footwear Blanc Baskets Adulte Fairway 0 White Bw01xxqF
   r = min

35 GS Shoe One Mixte Chaussures Enfant de Roshe Red Noir Running 5 Black White EU Noir Green Nike Classic Varsity ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.