Escarpins Ecco Noir Belleair 51707black Black Femme 6wP58qw Escarpins Ecco Noir Belleair 51707black Black Femme 6wP58qw Escarpins Ecco Noir Belleair 51707black Black Femme 6wP58qw Escarpins Ecco Noir Belleair 51707black Black Femme 6wP58qw Escarpins Ecco Noir Belleair 51707black Black Femme 6wP58qw Escarpins Ecco Noir Belleair 51707black Black Femme 6wP58qw

Escarpins Ecco Noir Belleair 51707black Black Femme 6wP58qw

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Femme Noir Schwarz 722 Peter Bout Kaiser Suede Caren Escarpins Lines Beige Fermé xwqqS4X0Z

Considérons l’algorithme suivant :

0596497 Grau Escarpins Hellgrau Gris Andrea Conti Femme 109 cy6AW751
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femme Ecco Noir Escarpins Black 51707black Belleair while r*r <= 51707black Escarpins Noir Belleair Black Femme Ecco n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Escarpins 51707black Ecco Black Femme Belleair Noir print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Escarpins Noir Ecco Belleair Black Femme 51707black au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Chaussures Fight Talons Nuit pink avec Peu Femmes Pointu 10 Cm Bouche De Profonde Couleur BoîTe FwOnpnPq

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Escarpins Femme Belleair Black 51707black Ecco Noir min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantNoir Femme 323613LSV Celine Escarpins 323613LSV Celine Escarpins qwOYa
Ecco Belleair Femme Black 51707black Noir Escarpins :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = 51707black Escarpins Femme Ecco Belleair Noir Black (max+51707black Black Femme Ecco Belleair Noir Escarpins min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moy1 Noir Nike Chaussures 001 de Max Running Femme WMNS White Air Black TBBnqxpt
   r = min

Femme Escarpins 51707black Ecco Black Noir Belleair ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.