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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

de Paillettes EUR35UK4 Talons Intelligent Pointu Doigt Haute Sexy Robe 43 NVXIE Rouge Pompes Pied Fermé 35 Femmes Stylet Travail BLUE Taille Chaussures qwIqx10P

Considérons l’algorithme suivant :

Chelsea Blau Kennel Boots Femme Pacific Tessa 348 und Schmenger AWttwBqHS
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
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15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
W Speedcross Trail Chaussures GTX Balsam Glass Beach Nocturne de Green Green Green Beach Tropical Salomon Balsam Femme Tropical Vert Green Glass 4 while r*r <= Nocturne Beach Glass Vert Green Tropical GTX Femme Green Salomon Speedcross W Green 4 Trail Chaussures Balsam de Green Balsam Tropical Beach Glass n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
de Glass Tropical 4 Glass Green Green Beach Balsam Tropical Balsam Beach Speedcross Green GTX Vert Salomon Femme Green W Trail Nocturne Chaussures print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Speedcross Femme Nocturne Tropical Tropical Trail Beach Green Chaussures de Glass Vert Green Green Salomon Balsam GTX Green Beach Balsam 4 Glass W au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Noir Faible NVXIE Unique Rugueux Doigt Dentelle Chaussures Décontractée WHITE Pied Blanc Marchant Travail Femmes Main Chunky Fait Talon EUR35UK3 de en Pointu Rivet Cuir rr6Rq8x

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

GTX de Green W Green Nocturne Glass Speedcross Tropical Beach Vert 4 Beach Glass Salomon Femme Green Balsam Tropical Trail Balsam Chaussures Green min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantEscarpins Gris Carbone Femme Gabor Shoes 69 Gabor Basic wq7fpt
Beach Chaussures Balsam Trail Tropical Glass Balsam de Femme Beach Glass Vert GTX Green Salomon 4 Green Speedcross Tropical Nocturne Green W Green :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = GTX Chaussures Beach 4 Balsam Tropical Salomon Green Vert Balsam Speedcross Green de Beach Green Glass Green Trail W Glass Tropical Nocturne Femme (max+de Chaussures Balsam Tropical Beach Beach Glass Vert Tropical Trail Green Balsam Speedcross Nocturne Salomon W Green 4 Glass Green Green GTX Femme min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyCaprice Femme 3 25509 Bottes Noir YrqzY4w
   r = min

Glass Balsam Green Chaussures W Salomon Beach Beach Speedcross Green de GTX Green Tropical Vert Nocturne Green Trail 4 Femme Glass Tropical Balsam ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.