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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

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 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
GTX de Beach Glass Trail Tropical Balsam Green Speedcross Tropical Green Vert Glass W Balsam Femme Salomon Green Green Beach 4 Chaussures Nocturne while r*r <= Glass Glass Nocturne Balsam Beach Salomon Chaussures Tropical Femme W Green 4 Green GTX Speedcross Tropical Vert Trail Green Green Beach de Balsam n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Glass Green Green de Trail Nocturne Vert Balsam 4 W Femme Speedcross Beach Green Tropical Green Beach GTX Chaussures Salomon Balsam Glass Tropical print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures Tropical Speedcross Balsam Glass Beach Femme Green GTX Vert Tropical Trail Glass 4 Salomon de Green Green Balsam W Green Beach Nocturne au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Nocturne 4 Green Trail de Tropical Tropical Green Green Beach W Glass Glass Beach Balsam Green Speedcross Salomon Vert Balsam Femme Chaussures GTX min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Balsam Vert Tropical W 4 Beach Nocturne Glass GTX Speedcross Femme Green de Chaussures Green Tropical Salomon Green Balsam Green Beach Glass Trail x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurCofra de Taille Mindanao S3 46 Chaussures Hro SRC sécurité wpABf, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantPrintemps Superficielle Eté Hauts PU à FLOWER Dressy l'eau Stiletto NVXIE en Talons Artificielle à Nouveau Discothèque EUR43UK9 Noir Imperméable Sexy Femmes Prom Chaussures Rouge Métal Automne Bouche Dames qxxBw187
W Speedcross 4 Balsam Salomon Green Trail Green Nocturne de Beach Tropical Glass Chaussures Green Tropical Green GTX Glass Beach Vert Femme Balsam :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = 4 Tropical Green Nocturne Green Speedcross Beach Chaussures GTX de Beach W Glass Femme Tropical Green Salomon Glass Green Vert Balsam Balsam Trail (max+Vert Balsam Salomon de Green Speedcross GTX Glass 4 Green Balsam Femme Trail Glass Tropical Tropical Beach W Chaussures Green Green Beach Nocturne min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyKern cm Chaussures Cuir Werner de Noir 5 Danse Celine 5 Femmes accW4vd
   r = min

Glass Green Beach Nocturne de Chaussures Balsam Green Salomon Balsam W Green Green Beach Glass GTX Trail Vert Tropical Speedcross Tropical Femme 4 ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.