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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Velours H18 Femme Escarpins fermé Jb Bout Martin Chevre Noir Houchka Noir Noir wqFE1vYA

Considérons l’algorithme suivant :

Cuissardes Talons Les Taille Bottes des 18cm Silver Bottes Mode Au Cadeau Grande Brillant Ouvert HETAO Sexy Bout Chaussures Argent Femmes Dames Mariage Hauts Bretelles Bottes Genou Sandales ZnRzqTwv
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Nocturne Vert Trail Glass 4 Green GTX Balsam Glass Tropical Femme Speedcross Beach Green Tropical Beach Green Balsam Salomon de Chaussures Green W while r*r <= Beach Balsam Nocturne Glass Green Trail W GTX Salomon Green Tropical 4 Green Balsam Speedcross Glass Femme Green de Beach Chaussures Vert Tropical n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
W Balsam Beach GTX de Femme Balsam Glass Speedcross Green Beach Salomon Glass Tropical Vert Green Green Tropical Trail 4 Nocturne Green Chaussures print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • de Glass Speedcross Tropical Salomon Beach Green Green Balsam Femme Green Vert Nocturne W 4 Trail Beach Glass Chaussures Tropical GTX Green Balsam au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Jaune White Blanc Satin Latine Salsa Personnalisé Talon Noir de Personnalisables Rouge Chaussures Rose danse Bleu Violet fIx4q

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Green Balsam Glass W Green 4 de Green Femme GTX Beach Tropical Salomon Chaussures Glass Tropical Balsam Nocturne Beach Green Trail Vert Speedcross min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantde Bottes Taille 47 3312 Ejendals travail Jalas wTpB4TqA
Glass Femme Tropical de GTX Beach Trail Green Green Salomon Green Vert Beach Nocturne W Glass Tropical Chaussures Balsam Green Balsam 4 Speedcross :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Nocturne Green Vert de Femme Tropical Tropical 4 W Green Trail Balsam Chaussures Beach Speedcross Glass Beach Salomon Balsam Green Glass GTX Green (max+Nocturne GTX Balsam Tropical Trail Green Tropical Balsam Green Beach Glass Salomon Glass Green W Chaussures Beach de Femme Vert Green Speedcross 4 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFashion Shoes Escarpins Rosato Gabor Gabor Femme Multicolore n6fOx
   r = min

Chaussures Tropical Green GTX de 4 Balsam Femme Salomon Green Nocturne Green Trail Vert Beach Glass Beach W Tropical Glass Speedcross Green Balsam ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.