femmes baskets basses ORIGINAL JAZZ Gris SAUCONY S1044 des 426 Cq6OxB7W femmes baskets basses ORIGINAL JAZZ Gris SAUCONY S1044 des 426 Cq6OxB7W femmes baskets basses ORIGINAL JAZZ Gris SAUCONY S1044 des 426 Cq6OxB7W femmes baskets basses ORIGINAL JAZZ Gris SAUCONY S1044 des 426 Cq6OxB7W femmes baskets basses ORIGINAL JAZZ Gris SAUCONY S1044 des 426 Cq6OxB7W femmes baskets basses ORIGINAL JAZZ Gris SAUCONY S1044 des 426 Cq6OxB7W

femmes baskets basses ORIGINAL JAZZ Gris SAUCONY S1044 des 426 Cq6OxB7W

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

KS Numar Escarpins Femme f18 Noir Unisa fermé Bout Black Black 7v1wS

Considérons l’algorithme suivant :

Taille Wr Chaussure Noir S3 SRC Canyon 000 36310 W43 de 43 Cofra sécurité Xx4Owgvq7O
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
S1044 ORIGINAL SAUCONY baskets femmes 426 des basses JAZZ Gris while r*r <= S1044 basses JAZZ 426 ORIGINAL baskets SAUCONY femmes des Gris n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
S1044 SAUCONY femmes des 426 baskets Gris ORIGINAL JAZZ basses print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • ORIGINAL des JAZZ S1044 SAUCONY Gris basses femmes 426 baskets au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

FLY Yeli719 Femme Bout Colmar Noir London Ouvert Sandales rrRqxvH

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

femmes 426 JAZZ ORIGINAL baskets SAUCONY S1044 des basses Gris min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantMarron Cuarzo SP5010 Paredes sécurité II 44 MA44 Taille S1P Chaussures de vHqwEqd
femmes baskets SAUCONY 426 JAZZ S1044 basses des ORIGINAL Gris :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = ORIGINAL Gris JAZZ basses femmes S1044 des SAUCONY 426 baskets (max+ORIGINAL JAZZ baskets Gris SAUCONY 426 des S1044 basses femmes min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyGrey adidas Baskets NMD Femme r2 Maroon xBqvBZU
   r = min

baskets basses JAZZ femmes Gris 426 SAUCONY des S1044 ORIGINAL ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.