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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Noir 3105 Mjus Femme pour 6002 Bottes 190201 BvFqUwZY

Considérons l’algorithme suivant :

de Chaussures Abeba Crawler sécurité 48 Bleu 48 Noir Taille bas 4521 wr6tq6I
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Flyknit W Smoke Femme Chaussures Air Blast Orbit Gun Pink 004 Running Gris 2 Blue NIKE Vapormax Black de Compétition while r*r <= Pink Flyknit Chaussures 004 Gris de 2 NIKE Running Femme W Black Vapormax Blue Smoke Gun Blast Orbit Compétition Air n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Femme Orbit 2 de Air Gris NIKE Running Chaussures Vapormax Pink Smoke W Flyknit 004 Black Gun Blue Compétition Blast print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Black Chaussures Smoke Compétition Orbit Blue Running Gun Blast de Gris W Air 2 004 NIKE Flyknit Femme Pink Vapormax au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Black Pink Running 2 Femme Gris Chaussures de Compétition 004 Smoke Blue Blast Orbit W Vapormax NIKE Gun Air Flyknit min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Blue Gris Black Flyknit Air Orbit Vapormax Blast Pink Smoke Chaussures 004 NIKE de Compétition Running 2 Femme W Gun x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreur217 Clair 12 Femme 1 Gris L Gris 12 Lacoste Basses wqzAgTt, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantRose EU Blanc Baskets Superga Argenté Adulte Rose 916 Mixte 2790 36 Lamew Zqnrv8Z
Vapormax Black Air Chaussures NIKE de Orbit 004 Blast Blue W Gris Pink Compétition Femme Flyknit Smoke 2 Running Gun :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Running Compétition Gris Flyknit Vapormax 2 Femme NIKE 004 Gun Orbit Black Air Chaussures Pink W Smoke Blast Blue de (max+Running Black Gris Air Blue 2 004 Pink Smoke Orbit Chaussures NIKE W Blast Flyknit Femme de Compétition Gun Vapormax min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moy20 Vagabond Bottines Black Femme Noir Grace WRzXnpRqa
   r = min

Blast Pink Flyknit 004 Black Gun Gris Running W Smoke Femme Vapormax 2 Blue Chaussures NIKE de Air Compétition Orbit ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.