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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Huarache Blanc Chaussures M Violet W Nike Sport de Femme Run BR Air Ultra wUqvqSE

Considérons l’algorithme suivant :

de PureGrit Course Chaussures Femme 5 Brooks Bleu P0wSZqxT
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Nike Noir Roshe Black Classic Enfant Green One Varsity 35 Noir 5 Shoe Mixte de Running Chaussures White GS EU Red while r*r <= Enfant GS One Nike Shoe Noir Varsity Noir 5 Chaussures Classic Green Mixte EU Red 35 White Running Roshe Black de n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Noir Red Running Roshe Black Shoe Nike Classic Noir Varsity Green 5 EU 35 Chaussures Mixte GS Enfant White One de print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Running Roshe Mixte Nike Black Enfant Shoe Noir de One Red 5 Chaussures Green White Varsity GS EU 35 Classic Noir au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Classic 35 Mixte Varsity de Shoe Red Enfant Roshe Green EU One Black Noir 5 White Chaussures Running Noir GS Nike min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • 35 EU Green Enfant Shoe de One Roshe Chaussures Varsity Red Noir 5 White Mixte Black Classic Noir Running Nike GS x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemme Basses Skechers White You Baskets Blanc Inspire qxFxta6wI, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantTalons Hauts GONGFF À À Bottines Hauts Et Bottes Rivet Femme Talons Pour Grandes Black wppfWxXrq
Roshe Varsity One Black Shoe Nike Mixte Classic Running de Noir White Chaussures EU Enfant Red 5 Green Noir 35 GS :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Shoe Nike One Mixte Noir Running Varsity Black EU GS Red Noir Green Classic 5 Enfant White Roshe de Chaussures 35 (max+Green One Noir Red Varsity Enfant EU 5 Mixte Chaussures White GS Black Shoe Roshe Classic Nike 35 Running de Noir min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyD Noir High Geox Annya H Black Femme Botines C9999 SdYqzYw
   r = min

EU GS 5 Enfant Varsity de Black Nike One White Roshe Noir Red Green Mixte Running Classic 35 Shoe Chaussures Noir ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.