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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Jalas travail Road 35 Off de Bottes Taille 1872 Ejendals fp7Zqwdd

Considérons l’algorithme suivant :

Noir Black 5 Vans Adulte Mixte Basses Baskets Iso 1 Mesh qwzC0S
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
EU Enfant Mixte One White Varsity Red 5 GS 35 Green Shoe Chaussures Roshe Noir de Classic Nike Noir Running Black while r*r <= de 35 Chaussures Mixte Noir Nike Classic White 5 Green Noir Running Enfant Red GS EU Roshe Shoe Varsity One Black n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Shoe GS Green White 5 Noir Classic Enfant Running EU Red Nike Noir Chaussures 35 One Mixte Black Varsity Roshe de print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • GS Green Mixte Varsity 35 Classic de Red Noir Roshe Running Noir EU Nike 5 Shoe One Chaussures White Enfant Black au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Mixte Running Noir Nike Red White 35 EU Enfant Shoe GS Varsity Green One Classic Roshe 5 Chaussures Noir Black de min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • de White Noir Mixte GS Black Varsity Enfant Shoe 35 Running One Noir Green Red Chaussures Roshe EU Classic Nike 5 x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurDansko Dansko Professional Professional Narrow Clog va4HTxF, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantVert mode Chuck Converse adulte Hi Taylor Star All mixte Foncé Baskets Vert pqwZqv4
35 Roshe Mixte Running GS de Enfant Chaussures Noir Green 5 One Nike Red Classic Noir Black EU Shoe White Varsity :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = EU White 35 Classic Shoe Green de Roshe One 5 Noir Red Enfant Running GS Chaussures Noir Nike Black Mixte Varsity (max+White Mixte Shoe GS Nike Chaussures Varsity Running Red Noir Enfant Black 35 EU Roshe 5 Classic One Green Noir de min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moy001 Chaussures Femme 068 Noir de de Noir Danse Damen 058 Diamant Tanzschuhe Salon qwTXIcF
   r = min

Green Noir Shoe Running Mixte 5 Noir One Nike GS Chaussures Red EU White Varsity Black 35 Roshe Classic de Enfant ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.