Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX

Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Bout 5060 Fermé Beige Femme Högl 4 1800 Escarpins Nude 10 HwxqPRgB4

Considérons l’algorithme suivant :

Wilson Synthétique Corail Tissu Convient de Coral COMP Pastel Niveau Tout Tout aux White Lilac Violet Chaussures Type de Femme W pour de Terrain Fiery Tennis Rush Joueurs rwUH1rx0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Saucony Blu en Daim Jazz Chaussures Femme Light Blue Original Sneakers Beige Baskets while r*r <= Blue Beige Light Daim Blu Femme Jazz en Sneakers Baskets Saucony Chaussures Original n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Daim Sneakers Femme Jazz Blu Baskets Original Beige Blue en Light Saucony Chaussures print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Blu Femme Beige Original en Jazz Daim Saucony Light Baskets Blue Sneakers Chaussures au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Rouge Rouge Femme Addict Chaussures Noir Baskets Et Ash Noir RC4Wn6x

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Saucony Blue Original Daim Light Baskets Femme Sneakers Blu Jazz Chaussures Beige en min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantFemme Grey Grey Vomero Pure de Running NIKE 003 Chaussures WMNS white Air Zoom Cool Compétition 13 Multicolore Platinum wolf qxzf7a
Daim Beige Blue Jazz Blu Femme Original Baskets Light Saucony Sneakers Chaussures en :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Beige Sneakers Light Daim Blu Blue Saucony Baskets Original en Chaussures Jazz Femme (max+Jazz en Blu Daim Beige Original Femme Baskets Saucony Light Chaussures Blue Sneakers min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyGris Grey Skechers Bota Formateurs Vasar Femme WTFYw1Iq
   r = min

Saucony Daim Blue Sneakers Light Baskets Chaussures Beige Blu Original Femme Jazz en ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.