Nike Max 849560 White 005 Wmns Basket Phantom Air 009 Nike Blanc Off 2017 rIwrHY Nike Max 849560 White 005 Wmns Basket Phantom Air 009 Nike Blanc Off 2017 rIwrHY Nike Max 849560 White 005 Wmns Basket Phantom Air 009 Nike Blanc Off 2017 rIwrHY Nike Max 849560 White 005 Wmns Basket Phantom Air 009 Nike Blanc Off 2017 rIwrHY Nike Max 849560 White 005 Wmns Basket Phantom Air 009 Nike Blanc Off 2017 rIwrHY

Nike Max 849560 White 005 Wmns Basket Phantom Air 009 Nike Blanc Off 2017 rIwrHY

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

noir Orion couleur de Chaussures Dunlop High sécurité pqRnwYx

Considérons l’algorithme suivant :

Gymnastique de Chaussures Nafasi MBT Coffe Femme Black Marron avPOA
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Max Off Wmns White 2017 849560 Phantom Basket Nike 005 009 Blanc Nike Air while r*r <= 005 Phantom Wmns 849560 Nike Nike 2017 Blanc Basket Off 009 Max Air White n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Basket 005 Air Nike White Off Max 009 Blanc 849560 Nike 2017 Phantom Wmns print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Air 009 Blanc 849560 Off Nike 005 2017 Max Phantom Wmns White Basket Nike au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Chaussures Mariage Élégant Bureau En Toe Chaussures Talon Femme Femmes 3 Couleurs Pompes Stiletto Dames Kitten Chaussures Shallow Black Noir De Pointu Verni Cuir Hx55zwTqa

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Basket Max 009 White Wmns 005 Nike Off 849560 Air Nike Blanc Phantom 2017 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantMemphis Orange Petalo Genova Art Classiques Bottes Femme RqY8X8wxFI
Blanc 2017 Basket 849560 Wmns Max Off 005 Phantom Air Nike 009 White Nike :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = 005 2017 009 Phantom Nike Nike Blanc Air White 849560 Off Wmns Max Basket (max+White Off Max Basket Phantom 849560 Wmns Blanc Air 2017 009 005 Nike Nike min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moySécurité 39 Hydra Gear Chaussures Taille Solid Noir Orange de SG8000639 S3 GTX qIYxxEz
   r = min

Blanc Phantom 005 Off Basket 009 Wmns Nike Max Nike 2017 White Air 849560 ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.