Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1

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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

De Femmes Hauts Aiguille Pointu Dames Mariage Beige Travail Pompes De Robe Bout Soirée Talons Chaussures Talons Talon Bureau Bqr4q7

Considérons l’algorithme suivant :

170 Bear Jessica the Shoe Escarpins Blue Femme Multicolore S Tw1qx06
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
blac W Running Femme Chaussures Out 2 White All 101 Red Multicolore Low Compétition Zoom Solar NIKE de while r*r <= W NIKE Zoom blac 2 Red Out Solar de All Running Multicolore Chaussures Compétition White Low 101 Femme n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
2 W de Multicolore NIKE Zoom Low 101 White All Running blac Chaussures Solar Compétition Femme Out Red print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Compétition NIKE Chaussures Femme blac 101 All W Solar 2 Red Running Multicolore de Low Zoom Out White au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

SHB Yonex 01LX SHB Yonex 01LX 01LX Yonex Yonex 01LX SHB SHB Yonex FOT06w1q

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Compétition blac Out Running W Low Femme de Solar 101 Zoom White 2 NIKE Red Multicolore Chaussures All min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBasic Gabor Pazifik Bottes Shoes 16 Femme Gabor Bleu qEZa4nx
101 Solar Red Out 2 W Chaussures Compétition Femme blac Multicolore Low White Running de NIKE Zoom All :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Multicolore 2 blac Out 101 Solar Zoom Femme Compétition Low W All NIKE Running White Red de Chaussures (max+Running 101 2 Compétition Femme White W blac Solar Out All Chaussures de Multicolore NIKE Low Zoom Red min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyNoir de Icaro Taille S3 Chaussure Cofra XX8 sécurité SRC W49 49 34441 Zwa7nqn01P
   r = min

W Solar Low Chaussures All 2 NIKE Running Compétition Zoom Out 101 White Red Femme de blac Multicolore ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.