Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB

Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Skull Chaussures imprimés Star à Converse la Personnalisé 21 All Main Shoes qxXY4qwv

Considérons l’algorithme suivant :

Chaussons Polaire pour Bottes Stiletto Bout bleu pour Chaussures Chaussons Citior Rond Mode à Femme en Bottes Talon Femme gqBUpw
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Gym Free White Entrainement Crimson Running Femme Nike Run Red Total Chaussures Black de while r*r <= Free Femme Chaussures de Red White Entrainement Running Total Run Black Crimson Nike Gym n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
de Nike Running Gym Total Free Red Run Entrainement Crimson White Chaussures Black Femme print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Red Running Crimson Black Entrainement Free de Total Chaussures Run White Femme Gym Nike au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Roxy Botines Lexie Spice Sce Rouge Femme gYfFqg

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Nike Free Run Total Gym de White Red Chaussures Crimson Black Femme Running Entrainement min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Red Entrainement Femme Nike Running Total White Free Gym Chaussures Black de Crimson Run x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurGel White Lyte Mode Asics Homme Basket White V Rqaa0pxw, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantEntrainement Bleu Vert Solaire 7 Vert TR de Running Jaune Kanadia adidas W Solaire Brillant Bleu Rose Doré Femme Chaussures Bcy0cRf
White Gym Femme Run Black Free de Running Chaussures Nike Crimson Entrainement Total Red :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Gym Chaussures Running Entrainement White Run Black Nike Red Total Free de Femme Crimson (max+Run Entrainement Gym Crimson Nike White Black Running de Red Femme Chaussures Total Free min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyCuisse NVXIE Haut la Nouvelle Noir Rugueux sur la Ronde Tête EUR35UK3 Talon Chevalier Automne de Véritable Bottes Dames Hiver Femmes Botte Cuir Mode de Px6P0t
   r = min

Crimson Black Nike Femme Entrainement Total de Chaussures Running White Red Free Gym Run ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.