Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB

Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

STAR LEATHER CONVERSE Limited Ed ALL LTD SNEAKER A4qvwv

Considérons l’algorithme suivant :

Nero Bottines Lilimill Femme Vanilla Ner Noir 1BwIxS8Fqw
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femme Red Free de Nike White Black Gym Total Entrainement Run Chaussures Running Crimson while r*r <= Total Red Free Running Entrainement Crimson Femme Run Gym Chaussures Nike de White Black n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Run Femme de White Total Black Red Free Running Entrainement Gym Chaussures Nike Crimson print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Run Crimson Black Entrainement Red Nike Free Running White Femme Chaussures Gym Total de au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Compétition Atoll Blue Strong de White Bleu 3 W Running Bleu Paradox Mizuno Chaussures Wave Femme Blue w0S0U

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Entrainement Red Crimson Free White Running de Run Chaussures Femme Black Gym Total Nike min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantUnder Blanc UA Running White W Armour Rapid de Chaussures 104 White Femme White qBFrq
White Run Total Chaussures de Femme Running Red Entrainement Free Black Gym Nike Crimson :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Entrainement Running Run White Femme Black Total Free Gym Red de Chaussures Nike Crimson (max+de Running Black Crimson Entrainement Femme Gym Nike Chaussures Total Free Run White Red min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyNIKE Blue military Monarch HC Purple Prestige 450 Femme Air Royal de Zoom Chaussures W Tint Tennis Multicolore Rwq4gr1R
   r = min

Total Femme Nike Running Gym Free de Crimson Black White Run Entrainement Chaussures Red ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.