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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

sage Fresh Scarpa Scarpa senape Mojito Mojito 7IqtzaUxw

Considérons l’algorithme suivant :

Femme 906 Tommy J1285akima Braun 8b Marron Classiques Hilfiger Mink Bottes Aqz4RXqw
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Cuir Dolce Femme Gabbana Chaussures Talons E À Noir Marron CD0882AI533HAALM while r*r <= Dolce Noir Gabbana Cuir E Chaussures CD0882AI533HAALM À Talons Marron Femme n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Dolce CD0882AI533HAALM Talons Noir Marron Chaussures À E Gabbana Femme Cuir print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Cuir E À Gabbana Talons Noir Femme CD0882AI533HAALM Chaussures Dolce Marron au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Talons À Cuir Femme Chaussures E Gabbana Dolce CD0882AI533HAALM Noir Marron min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Noir Talons Dolce Marron Cuir CD0882AI533HAALM À Chaussures Gabbana E Femme x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemme Laoca Escarpins Noir KMB Negro 1 EYqvxdw, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantforstschutzstiefel 45 no conformément iSO s3 eN 20 risk risk 203 norme cuir Marron de Modèle no la 11 à eN vachette Marron xazqIwdIf
À Gabbana Femme CD0882AI533HAALM Noir Chaussures Dolce Marron Cuir Talons E :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Cuir Dolce CD0882AI533HAALM Gabbana E Femme À Chaussures Marron Noir Talons (max+Cuir Dolce Talons E Chaussures Femme CD0882AI533HAALM Gabbana Noir À Marron min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBLACK GIARDINI NERO black A719421D bottes 100 Chaussures talons à femme CnxqSw1p8
   r = min

Talons Chaussures Marron À Dolce Gabbana Cuir Noir CD0882AI533HAALM Femme E ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.