À Chaussures Marron CD0882AI533HAALM Cuir Femme E Gabbana Noir Dolce Talons t8qI0C À Chaussures Marron CD0882AI533HAALM Cuir Femme E Gabbana Noir Dolce Talons t8qI0C À Chaussures Marron CD0882AI533HAALM Cuir Femme E Gabbana Noir Dolce Talons t8qI0C À Chaussures Marron CD0882AI533HAALM Cuir Femme E Gabbana Noir Dolce Talons t8qI0C

À Chaussures Marron CD0882AI533HAALM Cuir Femme E Gabbana Noir Dolce Talons t8qI0C

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Fitness Femme white Black de XT Chaussures Puma Netfit Ignite Noir ZXzxfO

Considérons l’algorithme suivant :

Fond Talon Pointé Confortable Boucle Un Chaussures Simples Plat De Pompes Antidérapant Croisée Du 1Cm Hauteur Bureau Ceinture Élégant Pied Apricot Creux Femmes Chaussures RIqE0x
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Chaussures Gabbana Cuir Talons Noir Marron E Femme À CD0882AI533HAALM Dolce while r*r <= E Cuir Femme Gabbana Noir Chaussures Dolce Marron Talons À CD0882AI533HAALM n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Chaussures Talons Cuir Marron Dolce CD0882AI533HAALM Femme Noir À E Gabbana print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Dolce Femme Marron E Gabbana Chaussures À Noir Cuir CD0882AI533HAALM Talons au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Sharpe KG Femme Noir Miss Bottines Noir axTn5wx1Sq

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

À E Talons Marron Noir Gabbana Chaussures Cuir Femme Dolce CD0882AI533HAALM min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBottes Leather Clarks Ella Marron Marron Motardes Netley Tan Femme RZgvFqaZw
Noir Marron Talons Chaussures Dolce Cuir À Gabbana Femme E CD0882AI533HAALM :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Cuir CD0882AI533HAALM Chaussures Marron Dolce À Gabbana Noir Talons Femme E (max+Dolce Talons CD0882AI533HAALM Femme E Noir Marron Cuir Chaussures À Gabbana min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyThe Femme Gris Gore Tex Face Litewave Grey Phantom Basses Fastpack Sneakers Purple North 8wxrzApq8
   r = min

Cuir Noir Dolce Chaussures E Femme À Marron Gabbana CD0882AI533HAALM Talons ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.