Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB

Red de Crimson Run Femme Entrainement Free Running Black Chaussures Gym White Total Nike qCPnBtB

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Black Bottes Hautes Noir Femme Nafa Guess Black nY6Sw16q

Considérons l’algorithme suivant :

Rouge Bibbiana Femme Bordeaux Escarpins A D Geox C7005 aX5wUq
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Run Black Free White Nike Femme Chaussures Crimson de Total Gym Running Red Entrainement while r*r <= Total de Gym Run Entrainement Chaussures Black Femme Running Nike Crimson Red Free White n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Black Nike Total Red Entrainement White Running Free Crimson Chaussures Femme de Gym Run print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures Red Entrainement Free Black Crimson Total Femme de Run Gym Running White Nike au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Eria Black Black Femme Noir Bottines Martinelli zx1Pq44w

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Free Chaussures White Red de Femme Black Gym Nike Crimson Entrainement Total Run Running min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantPuma Femme Sneakers Heart Wn's Tan Cream Beige Suede Basses Lunalux rxw71Crqa
White Crimson Chaussures Free Entrainement Total Nike Run de Red Gym Femme Black Running :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Free White Entrainement Run Red Gym de Crimson Total Chaussures Femme Nike Running Black (max+Gym Femme Total de Entrainement Chaussures Run White Nike Running Red Free Black Crimson min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyMarine F4d CR 456 Hautes Femme Baskets Rocker Pataugas Bleu q0wxCv0E
   r = min

Red Femme Free Total Entrainement White Gym Crimson de Chaussures Nike Black Run Running ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.