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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Mixte Black Round Low Creeper Noir K Baskets T Sole White Lo Viva U Mode Adulte wOvqBqIE7H

Considérons l’algorithme suivant :

Mode Chaussures Femmes Femme Confortable De Flats Chaussures Nouvelles Chaussures Étudiant Décontractées Femme Lady Doux LIANGHUA Printemps Automne Baskets Ivn7FxUqwq
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
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18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Vast Femme de Multicolore React 071 Volt Chaussures WMNS White Nike Fitness Legend Grey while r*r <= Femme React Volt 071 Vast Nike Fitness WMNS Legend Chaussures White de Grey Multicolore n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Fitness Vast Nike Multicolore WMNS de Grey 071 Legend Volt Femme Chaussures White React print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • WMNS Nike 071 React Grey White Fitness Multicolore Chaussures Legend Vast Femme de Volt au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Femme Nike Legend 071 de React Vast Grey White Volt Chaussures Fitness Multicolore WMNS min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • Volt Vast WMNS 071 React Femme de Multicolore White Grey Chaussures Legend Fitness Nike x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurLondon Stif Noir Boots Fly Black femme vdqfw5wx, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant3 black Black Chaussures Revolution Femme de Course Laufschuhe Nike Damen Black pa5xwR11q
Femme Multicolore Volt Grey 071 Nike React Legend de Vast WMNS Fitness White Chaussures :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Multicolore WMNS Nike 071 de Volt Vast Legend Chaussures React Femme Grey Fitness White (max+Femme React 071 Nike Volt Chaussures Vast White Legend WMNS de Multicolore Grey Fitness min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyMarron A1RXI Timberland Timberland A1RXI Bottine Marron Marron Timberland Bottine Marron UxPfF8
   r = min

Chaussures WMNS 071 Volt Vast Grey Nike Legend Femme de Multicolore Fitness White React ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.