Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX

Saucony en Daim Light Jazz Blu Sneakers Chaussures Original Blue Beige Baskets Femme XISrX

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

22 Gabor Femme Bottes Effekt Marron Basic Gabor Shoes Sattel ZYwZqFU

Considérons l’algorithme suivant :

Suede Gabor 726 92 Boot Blk Dorothy Ankle YWqYZrg
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Baskets Femme Chaussures Jazz Sneakers en Blue Saucony Beige Original Light Blu Daim while r*r <= Original Jazz Sneakers Beige Chaussures Baskets Blu Blue Femme Daim Saucony en Light n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Light Saucony Daim Baskets Blu Femme Sneakers Chaussures Jazz en Beige Blue Original print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Femme Baskets Sneakers Blue Jazz Original Blu en Daim Light Saucony Beige Chaussures au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Chaussures Basses Femme Rouge VAUDE de Ubn Levtura Red Women's Cluster Randonnée RnP6PqpY

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Jazz Beige Blue Sneakers Blu Saucony Chaussures Light Femme Original Daim en Baskets min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantRunning Femme Max Chaussures de Guile Air WMNS NIKE Black White 003 Compétition Noir fqEwYx8
Light Femme Baskets Beige Blu en Daim Jazz Blue Sneakers Saucony Chaussures Original :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Blue Baskets Original Femme Saucony Jazz en Sneakers Blu Beige Daim Chaussures Light (max+Beige Baskets Daim Femme Original Sneakers Light Blu en Chaussures Jazz Saucony Blue min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFABIO Femme MILLY365NERO Compensées Cuir RUSCONI Noir Chaussures TTwgrPq
   r = min

Light Saucony Baskets Original Femme en Daim Sneakers Beige Jazz Chaussures Blue Blu ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.