Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1

Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Bvl Demonia Bottines 100 Schwarz Noir Femme Assault qqYr71

Considérons l’algorithme suivant :

Rose BASKET WHITE SUEDE WHISPER SATIN Whisper PINK PLATFORM YnOqw4zH
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femme Compétition 2 Chaussures Multicolore All Red Zoom de NIKE blac Solar W 101 Running Out White Low while r*r <= Multicolore W de Femme Compétition Red Running Out Low Solar Chaussures All Zoom NIKE 101 White 2 blac n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Zoom Chaussures de W NIKE blac Running White 101 All Solar 2 Femme Out Red Multicolore Compétition Low print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Zoom Low blac NIKE White All Solar Femme 101 Red de Chaussures W Out Multicolore Compétition 2 Running au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Pomegranate Rouge Fitness J94884 de Chaussures Femme Merrell Pomegranate wZ074qXg

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

NIKE White Red Solar Low Femme Out Multicolore 2 Chaussures de Running All W 101 Compétition Zoom blac min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBottines Hauts Talons carré Femmes Caramel Talon Chaussures wOvqTUx0w
Zoom All Low blac White Multicolore Running W Compétition 2 Solar Chaussures 101 NIKE de Femme Out Red :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = 2 Multicolore Compétition Red Chaussures blac Out Running W Femme NIKE Low 101 de Zoom White Solar All (max+Zoom Running W 101 Out Multicolore Red Solar Femme Chaussures NIKE blac de Compétition White 2 All Low min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFemme Ter401sof Taupe Gris 003 Baskets Softinos qEvdAwx44
   r = min

Red 101 Zoom NIKE Chaussures Low Multicolore Running W Compétition Solar Femme Out 2 de All White blac ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.