Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1

Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Bottines 021 Femme 021 Rouge 3617400 Hirschkogel Rot f05ZwUq

Considérons l’algorithme suivant :

Puma Chaussures Adulte Bleu Carson Runner de Running Peacoat Knit EEA electric Blau Blue Compétition Mixte Lemonade 03 rxrFqwpH1
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femme Multicolore Chaussures Zoom Compétition Red White 101 W de Running NIKE 2 All blac Low Solar Out while r*r <= All Compétition Chaussures 2 blac Solar NIKE Femme Red 101 Out Multicolore Low White Running W Zoom de n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
blac 2 W 101 Chaussures Red Solar Femme Low Zoom de Running Compétition All Out NIKE Multicolore White print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Solar White Chaussures All NIKE blac 101 Running W Compétition Low Femme Red Zoom 2 de Out Multicolore au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Snake Print Bout Mulberry Escarpins Dal Rouge Van 540 Femme Lowe fermé zTBZq8x

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Running Solar NIKE blac W All Low Chaussures White 101 Compétition Femme Zoom de Red Multicolore 2 Out min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantFemmes 8 en Au Chaussures avec Rouge Chaussures Chaussures Talons du Printemps OL 5cm DHG Printemps Rugueux Hauts 35 Paresseuses avec Frotter Cuir Début CHqwn7z
Multicolore NIKE blac Solar W Compétition Chaussures White Running Low 2 Zoom 101 All Red Femme Out de :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = 101 Zoom All White de Out Multicolore blac Low W Solar Running Red NIKE 2 Compétition Chaussures Femme (max+Out NIKE W Zoom 2 Solar White de 101 All Running Multicolore Red Femme blac Low Compétition Chaussures min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyPhoenix 020 Mojave 9 Grey Bleu Femme Running de Chaussures Stone Gel Multicolore Asics UHq57wP
   r = min

Low Femme W de 101 All Out Solar Multicolore Running blac Zoom White 2 Red Chaussures Compétition NIKE ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.