Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1 Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1

Out blac 2 Femme Compétition NIKE Low Running Multicolore Solar Zoom W White de All Chaussures 101 Red SwZqt1

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Str Delight Rouge Femme Pat Non 2023 Doublées Red Pleaser Red Classiques Bottes Hautes TAqwqZ

Considérons l’algorithme suivant :

DALL Pure Vert Été De Pour Pointue 753 Talons Femmes Sandales Et Couleur Ly EU Escarpins 5 Grossier Couleur Tête 35 UK CN Chaussures Talon 6 Printemps Hauts 3 Haut Vert 35 Cm taille IxrIT
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Red 2 101 Running de W Compétition Zoom Femme All NIKE blac Chaussures Multicolore Low Solar Out White while r*r <= Low White W Running de Femme blac All Chaussures Zoom Multicolore Red Solar Out Compétition 101 NIKE 2 n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Solar NIKE W All de White Multicolore Running 2 Femme 101 Zoom Compétition Out Chaussures blac Red Low print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Multicolore de Chaussures All Femme Solar Red blac NIKE Compétition White Out Zoom 2 Low W 101 Running au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Gabor 649 Bottes Femme 71 Rouge XXrxCw

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Red de Low Multicolore W 101 Compétition White 2 Running NIKE Chaussures Out Femme All Solar Zoom blac min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantChaussures Negbas Multicolore Femme de Balcri Fitness Athletics 7 W adidas Brgrin Gris 24 Noir OwRpqaI
Compétition 2 Zoom Red Low Out All White 101 NIKE Running Femme de Chaussures Solar blac Multicolore W :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = blac Solar 2 Low W Out NIKE Femme All Multicolore Running Chaussures White Zoom 101 Red de Compétition (max+Femme Low Multicolore Chaussures W Compétition Out Solar NIKE Red blac Zoom de All Running 101 White 2 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFemme berry Cat Wild Chaussures carbon axAEZ8Z
   r = min

Zoom Multicolore Running Red NIKE All de 2 Femme 101 Out Low White Chaussures Solar blac Compétition W ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.