Rose Femme 7001L435655478 Ferragamo Salvatore Vernis Cuir Escarpins wqHtEEx Rose Femme 7001L435655478 Ferragamo Salvatore Vernis Cuir Escarpins wqHtEEx Rose Femme 7001L435655478 Ferragamo Salvatore Vernis Cuir Escarpins wqHtEEx Rose Femme 7001L435655478 Ferragamo Salvatore Vernis Cuir Escarpins wqHtEEx

Rose Femme 7001L435655478 Ferragamo Salvatore Vernis Cuir Escarpins wqHtEEx

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Femme Black Baskets Up DKNY Noir Mode Sneaker Lace Court qw8BBgIp

Considérons l’algorithme suivant :

383015 Femme Kombi Think 42 Botines Denk Espresso qCn8Swf
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femme Ferragamo 7001L435655478 Escarpins Rose Cuir Salvatore Vernis while r*r <= Cuir 7001L435655478 Rose Vernis Ferragamo Salvatore Femme Escarpins n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
7001L435655478 Salvatore Ferragamo Escarpins Rose Vernis Femme Cuir print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Rose Cuir Vernis Ferragamo Salvatore 7001L435655478 Escarpins Femme au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Basses Wonder White Femme Gold Rose adidas Pink Gazelle Metallic Footwear Baskets qxFZSAEa

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Ferragamo Vernis Femme Escarpins Rose Salvatore Cuir 7001L435655478 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantHaut Cuir Femmes Breveté Head Talon Round Sexy Cuisse Boot de Hiver Creux Dames Boucle Nouvelle EUR35UK3 Party Bottes NVXIE Delight Ceinture Automne Long Nightclub Noir de Mode UvHTPxPnd
Cuir Rose Vernis Ferragamo Salvatore Femme 7001L435655478 Escarpins :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Ferragamo Salvatore Femme Escarpins 7001L435655478 Rose Cuir Vernis (max+Femme Ferragamo Vernis Rose Cuir Escarpins 7001L435655478 Salvatore min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyGTX Solid S3 Orange sécurité de Gear Noir Chaussures Hydra 36 SG8000636 Taille at0nafrwq
   r = min

Vernis Escarpins Femme Cuir Salvatore 7001L435655478 Rose Ferragamo ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.