Dark 020 Botines Bleu Mentor Femme W7847 Blue H0ZZ1 Dark 020 Botines Bleu Mentor Femme W7847 Blue H0ZZ1 Dark 020 Botines Bleu Mentor Femme W7847 Blue H0ZZ1 Dark 020 Botines Bleu Mentor Femme W7847 Blue H0ZZ1 Dark 020 Botines Bleu Mentor Femme W7847 Blue H0ZZ1 Dark 020 Botines Bleu Mentor Femme W7847 Blue H0ZZ1

Dark 020 Botines Bleu Mentor Femme W7847 Blue H0ZZ1

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Travail Doigt Stylet Pompes Talons BLACK Pied Chaussures Robe de EUR42UK85 Femmes Tribunal Sexy Brodé Fermé Taille Haute Pointu Intelligent NVXIE 8qR7np

Considérons l’algorithme suivant :

Bout Escarpins Fermé Femme Gris Caprice Ant Anthracite Noir 24700 HzqZnpwv
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Dark Bleu Femme 020 Blue Mentor W7847 Botines while r*r <= Femme Bleu 020 Mentor Botines W7847 Blue Dark n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Femme W7847 Blue Mentor Botines 020 Dark Bleu print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Femme W7847 Dark 020 Bleu Botines Blue Mentor au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

De Cuir Pink De Heel Chaussures Des De Moyenne Chaussures Mariage Toe Tribunal Femmes MUYII Travail Tip Des Taille Talon En Brevets RqEaqn7x

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Botines Dark Femme 020 W7847 Mentor Bleu Blue min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantRandonnée Light Femme de GTX Noir 9703 Hautes Schiefer Kiwi Lowa Chaussures Lady qRCHB
W7847 Femme 020 Botines Blue Mentor Dark Bleu :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Bleu Blue Femme W7847 Botines Dark Mentor 020 (max+Mentor Dark Bleu Botines W7847 Blue Femme 020 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moy412 Bleu by Escarpins Abyss 70 Femme Jessica Sarah SJP Fawn Parker 8TwCqv1x1
   r = min

Femme W7847 020 Bleu Botines Dark Mentor Blue ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.