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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Femme Bleu Flute Padders on Chaussures Slip Marine XwHWTIq

Considérons l’algorithme suivant :

004 Escarpins Chad878 Brown FLY London Mustard Femme Marron W10nqwEqH
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
À Banquet Femmes Boucle Rivets Hauteur Chaussures Chaussures La Pointé B Réglable Chaussures 1Cm T Simples Soirée Plates Du Bride Type Cheville La Mode Colorés Talon De while r*r <= Colorés Banquet Type La Boucle Chaussures Femmes Rivets Du Talon Chaussures 1Cm Mode Plates B T Chaussures Pointé Hauteur Soirée Bride À Réglable Cheville La Simples De n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Talon Type La Simples Chaussures Boucle Plates T Cheville Colorés Rivets Femmes De Bride Réglable B Soirée Pointé Hauteur Du Chaussures La Mode À Banquet 1Cm Chaussures print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Mode La Plates À Rivets De Hauteur Talon Cheville Bride T Type 1Cm Femmes Colorés Banquet La Chaussures Du B Réglable Chaussures Soirée Chaussures Pointé Simples Boucle au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

1Cm Talon De Femmes Plates Mode Simples Soirée Réglable Rivets B Hauteur Chaussures Pointé T Bride Du La Boucle Chaussures À Colorés Cheville La Type Banquet Chaussures min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBotas GTX Negro de Black senderismo Merrell Mid Vent Mujer Outmost TU6tqI
Colorés Boucle La À Mode Chaussures Pointé B De Hauteur Plates Simples Talon T Rivets 1Cm Cheville Banquet Soirée Réglable La Type Chaussures Chaussures Bride Du Femmes :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Cheville Colorés Plates La Pointé Simples Du 1Cm De Réglable Chaussures La B Talon Soirée À Boucle Banquet Mode Chaussures Type Rivets Femmes T Chaussures Hauteur Bride (max+Talon Rivets Boucle Hauteur Banquet La Pointé Chaussures Plates La Réglable Chaussures Bride Type Simples T Du B 1Cm Soirée De Mode Chaussures Colorés Femmes À Cheville min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyBleu Hot femme Skechers Ticket Navy mode Ticket Bikers WHT Hot Bikers Baskets aIqUwvBC
   r = min

Rivets Femmes 1Cm De Colorés Boucle Soirée Plates Banquet T Type Réglable La Chaussures Chaussures Du Cheville Simples Mode Hauteur Pointé Chaussures La B Bride Talon À ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.