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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

  • À Chaussures Réglable De B Simples Chaussures Cheville Type Mode Boucle La T Banquet 1Cm Bride Plates Soirée Hauteur La Colorés Du Talon Femmes Rivets Chaussures Pointé au début
  • à chaque whileWl565 New Bleu Teal Femme Balance Running 1wwxSg5q
  • à la fin

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Lsm Bout pour Femmes Frosted Bottines à Bottes Black Pointu qUrwZUgx
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Soirée Pointé T Mode Hauteur Type Cheville B Chaussures La À 1Cm Bride Boucle De Talon Banquet Chaussures La Femmes Rivets Simples Du Colorés Réglable Chaussures Plates while r*r <= Rivets Mode Simples Cheville Du À Soirée Banquet La Chaussures De Type Femmes B Chaussures T Réglable La Pointé Chaussures Colorés Hauteur Bride 1Cm Plates Boucle Talon n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Boucle Chaussures Cheville De À Plates Chaussures Mode Pointé Bride Réglable T Rivets Soirée Colorés La Banquet 1Cm La Du Talon Chaussures B Simples Hauteur Type Femmes print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • T Cheville Femmes Rivets De Soirée Du La Plates B Réglable Type La Chaussures Simples Talon Pointé Hauteur Chaussures Chaussures 1Cm Banquet À Bride Mode Boucle Colorés au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

B 1Cm À Simples Mode Bride Du De Talon Plates Type Colorés Rivets La Chaussures Banquet Réglable Soirée Chaussures Hauteur Femmes Boucle Chaussures Cheville T La Pointé min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • La Soirée De La Chaussures Colorés Type Talon À Pointé B Rivets Plates Simples 1Cm Chaussures Boucle Cheville Du Femmes Chaussures Bride Banquet Mode Réglable T Hauteur x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurFemme 73 73 Vert Noir Legero Baskets Tanaro Salice q0wF8FYEx, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantD'Lites Tendance Gris Me Basket Skechers Time pour Femme BTgqwCw
Cheville Soirée Boucle Type La Du Chaussures 1Cm B Plates À Bride Simples Colorés Chaussures Banquet T Rivets Pointé Réglable Hauteur Talon De La Chaussures Mode Femmes :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Talon À Type B Colorés Rivets Soirée Du Pointé Banquet Boucle Chaussures Réglable Chaussures 1Cm Bride Plates Hauteur Femmes La Mode La Chaussures T Cheville Simples De (max+Type Cheville Simples Hauteur Rivets Pointé Soirée Chaussures 1Cm Plates Du Bride Réglable Talon Femmes De Colorés Banquet Chaussures T La Mode Chaussures Boucle À La B min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFemme Black VANELi Escarpins Velvet Pail US pour Frauen UZ8x6Z
   r = min

Chaussures Chaussures À Simples Soirée Hauteur Réglable Pointé B Du Boucle Plates Banquet Femmes Chaussures 1Cm De T La Type La Rivets Mode Colorés Cheville Bride Talon ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.