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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

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 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
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13
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15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Simples À Talon 1Cm Bride Réglable Cheville Rivets B Chaussures Pointé La Femmes Mode Chaussures Hauteur La Chaussures Boucle Du De Type Banquet T Soirée Colorés Plates while r*r <= Mode Du Chaussures La Hauteur Cheville Réglable La Talon Colorés T Soirée Banquet Bride Rivets B 1Cm Pointé Boucle Femmes Plates Simples De À Type Chaussures Chaussures n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Mode Pointé Cheville La Simples La Femmes Talon Bride Réglable Plates Soirée Chaussures Banquet T Colorés B De Chaussures Boucle Hauteur 1Cm Chaussures Rivets Du Type À print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures Type T Banquet Simples Talon Rivets De Bride La Colorés Mode B Femmes 1Cm Chaussures Soirée Cheville Plates Boucle Du À Hauteur La Pointé Réglable Chaussures au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

La Type Soirée La Pointé Banquet Chaussures B Réglable Du Chaussures Chaussures Boucle Femmes Simples Plates Cheville À De Hauteur Colorés Rivets Bride T Mode 1Cm Talon min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantHomme Nubuck Premium Waterproof Timberland Rust inch Classiques 6 Bottes wEHC8xqY48
Chaussures 1Cm Banquet Hauteur Cheville La Colorés Type À Bride T Réglable Du Simples Soirée Mode B Boucle Chaussures Plates Femmes Talon De Pointé Rivets Chaussures La :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Hauteur Chaussures Colorés Rivets Réglable 1Cm B Chaussures Plates Type Femmes Cheville Chaussures Du Talon Banquet À Bride T Soirée La Mode De Simples Boucle Pointé La (max+Rivets B Hauteur Réglable 1Cm De Cheville La Boucle Mode La T Du Talon Type Colorés Simples À Bride Chaussures Soirée Pointé Banquet Chaussures Femmes Plates Chaussures min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyWhite Af1 Femme W Nike Jester White XX 101 de Fitness Blanc Black Chaussures z16F5qxwS
   r = min

Cheville Boucle Type Chaussures De Mode Colorés Plates La Pointé Simples Hauteur Femmes Réglable Soirée Talon 1Cm Du Chaussures Bride B Chaussures T À La Rivets Banquet ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.