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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

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 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Plates Femmes Rivets Mode Du Soirée Chaussures 1Cm Bride Pointé Hauteur Boucle Chaussures Type Cheville Colorés La Réglable La T À De Simples Chaussures B Talon Banquet while r*r <= Type Plates Chaussures 1Cm Cheville De Bride Rivets T Mode Du Banquet Colorés La B Chaussures Soirée Boucle Simples Hauteur Talon Réglable Femmes La Chaussures À Pointé n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Soirée Talon Bride Hauteur T Chaussures Réglable De Type Mode Colorés Rivets Banquet La À La Boucle B Cheville Plates Chaussures Du 1Cm Pointé Chaussures Simples Femmes print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • 1Cm Femmes Plates Bride Soirée Boucle T Banquet La Mode Rivets Chaussures Chaussures Cheville B La À Chaussures Talon De Du Hauteur Réglable Colorés Type Simples Pointé au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Femmes Cheville Boucle La Colorés T B Chaussures À Type Talon Soirée Chaussures Hauteur Banquet Réglable De Pointé Mode La Simples 1Cm Rivets Du Bride Chaussures Plates min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantNIKE Black Multicolore Kantara Max 001 Anthracite Femme Sneakers Grey Basses Black Air Cool WMNS rt0nqw8t
T Cheville Pointé Talon Boucle Type Du Plates Bride Rivets Chaussures Femmes Soirée De Banquet Mode Réglable La 1Cm Hauteur À Simples B La Colorés Chaussures Chaussures :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Colorés Femmes Bride Mode Soirée La Boucle Banquet Chaussures Chaussures Type Chaussures Réglable Talon Simples Du B La De Pointé Hauteur Cheville T À Rivets 1Cm Plates (max+Femmes Boucle Bride Simples La Mode Soirée De 1Cm Banquet Type Plates Hauteur Pointé La Chaussures Du Réglable Rivets Cheville Talon B Chaussures T Chaussures Colorés À min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyGrey Caterpillar Chukka Fourrées Femme Colorado Black Grey Bottes 6qwUq4xSO
   r = min

Du Cheville Chaussures De Type Chaussures Boucle Réglable Chaussures Rivets La 1Cm Soirée La Talon Colorés B Femmes Simples Plates À Mode Bride Pointé Banquet T Hauteur ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.