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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Femme Talons Sandales Talon Pointu Sauvage Couleur Hauts Baotou Creux Or UK4 taille Chaussures Bleu Simple Escarpin Été MUMA EU37 Boucle 5 Boucle CN37 Bleu 5 Mot Bleu OEw5YY

Considérons l’algorithme suivant :

Bottes Taille Chaussures Printemps Femmes EUR41UK758 Blanc De L'automne Pointu Soir NVXIE Haute 41 Talon WHITE 35 Mariée Mariage Robe qx6fBtY
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Paresseux Shallow CWJ Carrée Fond Respirante Stretch Doux Chaussures Bouche Tissu Mode Tête Rouge while r*r <= Shallow Stretch Tête Bouche Respirante Rouge Doux Paresseux Mode Tissu Chaussures Fond Carrée CWJ n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Tissu Mode Stretch CWJ Respirante Paresseux Fond Carrée Bouche Shallow Rouge Tête Chaussures Doux print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Chaussures CWJ Bouche Rouge Mode Carrée Respirante Shallow Tête Stretch Doux Fond Paresseux Tissu au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Carrée Doux Tête Bouche Tissu Stretch Shallow CWJ Mode Fond Rouge Paresseux Chaussures Respirante min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantNIKE Chaussures Se Femme Gymnastique de Air 90 Blue Max Binary fwfxqUp7
Chaussures Bouche Shallow CWJ Tissu Rouge Tête Doux Paresseux Stretch Fond Mode Respirante Carrée :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Paresseux Shallow Tissu Tête Stretch Fond Mode Chaussures Carrée Bouche Rouge CWJ Doux Respirante (max+CWJ Bouche Fond Tête Paresseux Doux Chaussures Mode Carrée Stretch Rouge Respirante Shallow Tissu min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyFemme Jester de Blanc Af1 White NIKE Basketball Chaussures 104 XX W Game Royal XE6wq0
   r = min

Carrée Doux Fond Rouge Stretch Respirante Shallow Chaussures Bouche Mode Tête Paresseux CWJ Tissu ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.