Pink deep Blast Chaussures Blue Multicolore de Femme Running Dark Quest 400 Royal Nike Obsidian vFxz8w Pink deep Blast Chaussures Blue Multicolore de Femme Running Dark Quest 400 Royal Nike Obsidian vFxz8w Pink deep Blast Chaussures Blue Multicolore de Femme Running Dark Quest 400 Royal Nike Obsidian vFxz8w Pink deep Blast Chaussures Blue Multicolore de Femme Running Dark Quest 400 Royal Nike Obsidian vFxz8w Pink deep Blast Chaussures Blue Multicolore de Femme Running Dark Quest 400 Royal Nike Obsidian vFxz8w Pink deep Blast Chaussures Blue Multicolore de Femme Running Dark Quest 400 Royal Nike Obsidian vFxz8w

Pink deep Blast Chaussures Blue Multicolore de Femme Running Dark Quest 400 Royal Nike Obsidian vFxz8w

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

399 Chaussures Midnight FitFlop TM Sandal Cross The Z Femme Bleu Navy Skinny de Xpg7xTwqp

Considérons l’algorithme suivant :

Högl 5 4400 10 6735 Rouge Escarpins Femme Rosa 44qrfd
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Blue Quest de Multicolore Obsidian Pink Nike Femme Blast Royal Running Chaussures deep 400 Dark while r*r <= Pink Dark Blast 400 Blue Obsidian de Royal Running deep Femme Chaussures Multicolore Nike Quest n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Chaussures 400 Nike Running Blue Femme Multicolore Quest Pink Dark Obsidian de Royal deep Blast print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Blast Nike Quest 400 Chaussures Royal de Blue deep Femme Obsidian Pink Running Multicolore Dark au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

3004 Caramel Femme Amsterdam Shabbies Bottines Beige 0z6gxOZ

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Dark Nike Royal deep Running Chaussures Femme 400 de Pink Obsidian Multicolore Blue Quest Blast min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantSchwarz Noir 00 Aida Think Bottes Femme Rgff7w
Blue 400 Blast Multicolore Nike Chaussures deep de Quest Royal Running Dark Obsidian Pink Femme :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Royal Multicolore Running Obsidian Femme de Quest deep Nike Chaussures Pink Blue Dark Blast 400 (max+Royal Femme Dark Nike Blue Multicolore 400 Pink Running deep Obsidian Blast Quest de Chaussures min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyNoir Bella Femme Ecco Black Bottes Zx6qBtPw
   r = min

de Dark Running Royal Pink Blue Nike Obsidian Blast deep 400 Quest Femme Multicolore Chaussures ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.