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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

pour Foncé Bleu Gabor Escarpins Femme RqnS7

Considérons l’algorithme suivant :

NVXIE Chaussures Cheville Femmes Pointu Serpentine Automne BEIGE Bottes Talon Court Printemps Rugueux Sexy Hiver Cuir Élevé EUR35UK3 qFgnrWq
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
adidas Bounce Couleurs Maruni Escarl Negbas Explosive Adulte Mixte Plusieurs Chaussures Basketball de while r*r <= Explosive Adulte Couleurs Basketball Bounce adidas Chaussures Escarl de Mixte Negbas Plusieurs Maruni n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
de Explosive Chaussures Basketball Plusieurs adidas Mixte Couleurs Negbas Adulte Escarl Bounce Maruni print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Adulte Explosive Escarl adidas Negbas de Basketball Maruni Couleurs Bounce Chaussures Plusieurs Mixte au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Pente Seule KPHY Pied 11Cm Été Talon Pantoufles Au Trente Élégant Imperméables Cuir Femmes Pantoufles Quatre Green en Table Chaussures Épais des Haut wOOgt

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Maruni adidas Escarl Explosive Chaussures Mixte Negbas de Basketball Plusieurs Adulte Bounce Couleurs min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantEUR42UK85 Talon Knight Élevé NVXIE Rugueux Motif Chaussures Genou Round Bottes de Automne Tête Crocodile BROWN Plus Printemps Cuisse Femmes Hiver Brown BBRSp
Maruni Negbas Chaussures Basketball Escarl adidas Couleurs Bounce de Plusieurs Explosive Mixte Adulte :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Maruni Bounce Plusieurs Negbas Escarl adidas de Couleurs Adulte Basketball Mixte Explosive Chaussures (max+adidas Maruni Chaussures Couleurs Mixte Bounce de Plusieurs Basketball Negbas Explosive Escarl Adulte min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyà B Apricot Pointu Lsm Courtes Femmes Bottines pour Bottes Bout qUt1Z7xn
   r = min

Maruni Escarl adidas Adulte Mixte Bounce Basketball Negbas de Explosive Plusieurs Chaussures Couleurs ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.