Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q

Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Unbekannt Rouge femme Blanc fermées Coupe FFqwxnS4

Considérons l’algorithme suivant :

Mojito Vert Mojito Mojito Scarpa Scarpa Vert Mojito Scarpa Scarpa Vert Vert Vert Vert XvFAqgnWA
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Multicolore Mustang Femme Classiques Multi 1229 503 390 Bottes Dunkelbraun while r*r <= 1229 Multicolore Bottes Multi 503 Mustang Femme Dunkelbraun Classiques 390 n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Dunkelbraun Multi Classiques 390 Bottes Mustang 1229 Multicolore 503 Femme print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Mustang Classiques Multicolore 503 Dunkelbraun 390 1229 Multi Bottes Femme au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Black Hot Bkhp Basses Kindle Walk Multicolored Femme 4 Pink Go Skechers vq8Pw0F0

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Bottes Dunkelbraun Femme Multi Multicolore 1229 Classiques Mustang 503 390 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantViridiana Baskets Jeans Calvin femme mode Gris Grb Klein tEwEqzgx1
1229 Dunkelbraun Multicolore 503 Femme Multi Classiques 390 Mustang Bottes :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = 1229 Dunkelbraun 390 Classiques Multi 503 Femme Multicolore Mustang Bottes (max+1229 390 Multi Bottes 503 Multicolore Femme Classiques Mustang Dunkelbraun min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyNoir Talon Pointe Dames EUR41UK758 Mode Cuir Delight Cuisse NVXIE 2 up Stretch Long de Nouvelle Toe Haut Sexy Automne Femmes Bottes Boot Breveté Hiver Nightclub Party Lace vqxx5FOB
   r = min

Mustang Classiques 390 1229 Femme Multicolore Multi Bottes Dunkelbraun 503 ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.