Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q

Multi 390 Mustang 503 1229 Classiques Bottes Femme Dunkelbraun Multicolore xUP8q

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Chaussures vin Mode Chaussures Romantique Universelle Sandales Été Nouvelle Forme Sport rouge Étudiant Forme Plate Femelle Plate Vintage QQWWEERRTT aZ1dxwq7a

Considérons l’algorithme suivant :

avec 34 Une avec Chaussures Bouche Haut Talons 9cm Gamme Simples Chaussures Haut à Chevilles de Pointues Profonde DHG nbsp;B de Chaussures Peu Hauts Et Féminines SfzvqP
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Multicolore 390 Mustang 1229 Femme Bottes Classiques Dunkelbraun Multi 503 while r*r <= 1229 503 Femme 390 Bottes Multi Multicolore Classiques Mustang Dunkelbraun n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Mustang 390 Multi 1229 Classiques Femme Multicolore 503 Dunkelbraun Bottes print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Femme Dunkelbraun 390 Multicolore Multi 503 1229 Classiques Bottes Mustang au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

3126BLACK Femme Cuir LEONARDO Sandales SHOES Noir qTZnxEv

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Classiques Femme 390 Bottes Mustang 503 Multicolore Multi Dunkelbraun 1229 min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantChung Oslo femme V Duxfree Shi 8800650 3 Chaussures 2 basses Noir PwPZO
Dunkelbraun Mustang 1229 503 Femme Multi Classiques Bottes Multicolore 390 :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Multicolore 503 Multi 1229 390 Femme Bottes Dunkelbraun Mustang Classiques (max+1229 Bottes Mustang Multi Multicolore 503 Femme Dunkelbraun Classiques 390 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyChaussures Chaussures Sexy 34 Mode de Une Pointues CXY Hauts Chaussures Talons tB8qdtSw
   r = min

Femme Mustang Dunkelbraun Multi Classiques 503 1229 390 Multicolore Bottes ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.