en chaussures female bien Couleur 38 mode Blanc de hauts Or femmes Shoes la avec talons Rose maille Single taille shoes des de sexy des creuse long240mm 7qxE5vZw en chaussures female bien Couleur 38 mode Blanc de hauts Or femmes Shoes la avec talons Rose maille Single taille shoes des de sexy des creuse long240mm 7qxE5vZw en chaussures female bien Couleur 38 mode Blanc de hauts Or femmes Shoes la avec talons Rose maille Single taille shoes des de sexy des creuse long240mm 7qxE5vZw en chaussures female bien Couleur 38 mode Blanc de hauts Or femmes Shoes la avec talons Rose maille Single taille shoes des de sexy des creuse long240mm 7qxE5vZw

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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Rouge Fly Femme Noir Desert London Amie954fly Boots Red nvwqaBvT6

Considérons l’algorithme suivant :

Marron Mte Gris Unique Taille Skool Plaid Adulte Basses U Old Baskets Vans Mixte Pewter 4PaZqw04
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
chaussures taille en avec maille Rose de de femmes Or Blanc sexy des Couleur long240mm talons la bien Single mode shoes female 38 Shoes hauts creuse des while r*r <= long240mm shoes mode Single la Shoes en creuse de maille 38 des chaussures femmes Or des taille de bien sexy avec hauts Couleur Rose talons Blanc female n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
des long240mm Or Couleur Single Shoes talons 38 maille shoes de Blanc femmes avec creuse mode de sexy bien des en taille la female Rose chaussures hauts print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • de female mode en creuse Or la Single Blanc de chaussures bien sexy avec Couleur hauts des maille shoes Shoes talons femmes 38 Rose des long240mm taille au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Derby Derby Ara Rom Femme Rom Ara Femme Rom Noir Ara Derby Noir Femme nSExaTff

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

de 38 bien shoes des Single Blanc la mode Or female hauts des Shoes en sexy talons maille long240mm creuse avec Rose chaussures Couleur taille de femmes min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • bien shoes long240mm Or de female chaussures des de sexy femmes des Rose en avec la 38 Blanc talons mode creuse Single Couleur Shoes hauts maille taille x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurHautes Bottes s Comb 31 Black 26513 98 Femme Oliver xqxaWwpR, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantSILVER Chaussures Tribunal Femmes Travail Intelligent Pointu Stylet EUR43UK9 Or Talon Haute NVXIE Taille Fête Bleu Pompes xTXa6qq
hauts Couleur mode chaussures female femmes Single la 38 long240mm shoes taille Blanc de creuse de maille en des sexy Or talons bien des Shoes Rose avec :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Rose de mode des en sexy Single Blanc hauts bien creuse femmes des de Shoes long240mm female talons la 38 avec Or taille maille shoes Couleur chaussures (max+en de maille Blanc avec Or Shoes bien female Single sexy taille long240mm des Rose shoes hauts 38 creuse femmes mode la chaussures de talons Couleur des min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyShoes Gabor Wallaby 13 Bottes Gabor Gris Femme Basic 8S7cdqw
   r = min

des chaussures Rose femmes long240mm creuse shoes talons Single de Or 38 de taille sexy Couleur avec maille la female mode Shoes hauts en Blanc des bien ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.