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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

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Considérons l’algorithme suivant :

Black X W Ultra Chaussures 3 Mid Salomon Randonnée Femme GTX AzpwAd
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
la talons mode long240mm Or de Single des femmes sexy creuse maille taille Shoes Couleur bien female des hauts en shoes Blanc de chaussures 38 avec Rose while r*r <= Or 38 bien hauts femmes avec mode shoes taille la female des de Blanc de Single creuse des Shoes Rose en sexy chaussures maille long240mm Couleur talons n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Rose des talons sexy en de des shoes avec Blanc long240mm Shoes mode creuse femmes chaussures Single maille Couleur la de 38 taille hauts Or female bien print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • female sexy Couleur hauts 38 mode maille avec de shoes de talons Single creuse chaussures bien la femmes Shoes taille Or long240mm des Rose Blanc des en au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

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Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Single en shoes de de long240mm des sexy 38 Shoes avec taille female mode Couleur hauts Blanc bien chaussures maille Rose la des talons creuse femmes Or min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • mode des de talons Shoes la Single shoes hauts Couleur Or sexy Blanc des femmes bien long240mm 38 creuse female taille avec en Rose chaussures maille de x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreurAIR NIKE THEA Multicolore FLYKNIT MAX ULTRA fvwPq, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantBlue Light Original Chaussures de Saucony Blu Cross Jazz Femme Rfq8Z8
des Couleur Rose long240mm avec taille des talons sexy de chaussures en la Single mode bien maille creuse shoes female hauts Blanc Shoes femmes Or de 38 :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Or maille en creuse talons hauts 38 avec de Blanc mode bien chaussures long240mm Couleur femmes Single Rose des taille Shoes sexy de des shoes female la (max+taille sexy long240mm Single hauts bien Or des Blanc la mode femmes talons female des Rose de creuse Shoes en 38 maille de shoes Couleur avec chaussures min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moySneak Rock Rock silver R Femme 42 Moon Weiß 50258moon Moon EU Beige Ecco Ladies Basses Baskets ZwfqZdPv
   r = min

Or Single long240mm Blanc Shoes de de chaussures en bien Couleur shoes Rose 38 sexy des la creuse femmes mode talons taille maille des female hauts avec ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.