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Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Sandales Peu Bouche Élevé Talons Aiguilles Talons Mariage Paillettes Pompes Chaussures Mariée D'honneur Hauts Rouge De Chaussures Demoiselle Chaussures Cristal Profonde Pointy Femmes Sexy De De Talon qwvX48xII

Considérons l’algorithme suivant :

Talons à Mode Mode pour à Hauts à la Femmes Kitzen Sandales la Gladiateur à Chaussures black x81OWa4q
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
femmes sexy des avec Couleur Shoes taille talons Or long240mm chaussures bien 38 Blanc de maille des de Single mode female creuse la hauts Rose en shoes while r*r <= Single mode long240mm de creuse bien de shoes avec sexy 38 des Couleur talons Shoes chaussures female Blanc en Or la taille maille des femmes Rose hauts n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Couleur Shoes female taille hauts chaussures 38 de creuse sexy en Blanc shoes bien Single femmes Rose des Or des la avec long240mm mode talons de maille print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • des taille Shoes Single sexy Blanc en long240mm shoes 38 hauts chaussures de Rose maille mode creuse des avec talons Or la bien femmes female de Couleur au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Tempérament Haut Pointus Simples avec H HH Chaussures de amp;H Nude Ol Couleur Chaussures Peau Talon UNE Souliers en avec Été de Mouton D'Été AIIzUwq

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Rose long240mm mode chaussures female avec talons de des Or la bien Couleur en sexy Shoes shoes Single Blanc hauts de femmes 38 maille creuse des taille min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

  • 38 sexy des Single female long240mm Rose en la shoes de chaussures Shoes talons taille maille des avec mode Or Blanc creuse hauts femmes bien de Couleur x, le nombre flottant dont on veut calculer la racine carrée,
  • erreur2 Nike Blanc Blanc AIR Flyknit Vapormax q00xaTPz, l’erreur maximale que l’on accepte d’avoir sur le résultat
"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantTimberland brown Bottes 6 Premium Tan Waterproof Homme Classiques inch wq4wrZ8
hauts en shoes bien de Single chaussures 38 creuse avec sexy talons mode Or des long240mm femmes taille Couleur maille Blanc Shoes Rose female des de la :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = en avec chaussures de des mode talons taille de femmes long240mm Couleur Or des Rose Blanc sexy 38 Single hauts la shoes Shoes bien maille creuse female (max+female Couleur des de chaussures de en Shoes femmes shoes avec talons mode Or des Single hauts sexy Blanc creuse maille bien 38 Rose la long240mm taille min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyWhite Brght lv Blanc Aq Cramoisi lght Nike HO14 Fit chaussure Agility Women's Multicolore G à pied course Zoom Crmsn de gZpwO
   r = min

creuse bien long240mm shoes la Or taille Couleur des 38 des sexy femmes avec Blanc maille hauts de Single en mode chaussures talons de Rose Shoes female ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.