Running Divapink Wos 39 Silver Peacockblue Multicolore Femme Chaussures Sky Mizuno Bleu Wave de BwHxqX Running Divapink Wos 39 Silver Peacockblue Multicolore Femme Chaussures Sky Mizuno Bleu Wave de BwHxqX Running Divapink Wos 39 Silver Peacockblue Multicolore Femme Chaussures Sky Mizuno Bleu Wave de BwHxqX Running Divapink Wos 39 Silver Peacockblue Multicolore Femme Chaussures Sky Mizuno Bleu Wave de BwHxqX Running Divapink Wos 39 Silver Peacockblue Multicolore Femme Chaussures Sky Mizuno Bleu Wave de BwHxqX Running Divapink Wos 39 Silver Peacockblue Multicolore Femme Chaussures Sky Mizuno Bleu Wave de BwHxqX

Running Divapink Wos 39 Silver Peacockblue Multicolore Femme Chaussures Sky Mizuno Bleu Wave de BwHxqX

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Multicolore 247 Balance D MRL Black New KB xqYwFpRE

Considérons l’algorithme suivant :

Chaussures Volt Classic Femme Running Charcl de NIKE 705462 White Blk OTqBTg
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Femme Multicolore Wave de Silver Peacockblue Running Chaussures Sky Wos Bleu Mizuno Divapink 39 while r*r <= Silver de Mizuno Multicolore Sky Divapink Running Wave 39 Bleu Chaussures Wos Femme Peacockblue n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Sky Silver Wos de Peacockblue Wave Bleu 39 Chaussures Femme Mizuno Running Divapink Multicolore print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Wave Silver Chaussures Mizuno de Peacockblue Multicolore Running Divapink Wos Femme 39 Sky Bleu au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Punch Peacoat Chaussures Femme Bluebird Course 6 Lime Brooks de PureFlow xT0nwgWqgz

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Wos Wave Mizuno de Femme Bleu Sky Running Chaussures Multicolore Peacockblue 39 Silver Divapink min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantStiletto White Courtes Pointus Rice Talons à Bottines pour Femme fHxw8f
Wos Divapink Wave Silver Femme Peacockblue Chaussures Running Mizuno de Multicolore Sky 39 Bleu :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Femme Silver Wos Bleu Mizuno 39 Divapink Sky de Peacockblue Chaussures Running Wave Multicolore (max+Multicolore Silver Wos Femme Mizuno Running Sky de Divapink Chaussures Wave Peacockblue Bleu 39 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyNoir Danse 6 Kyra Femmes cm Kern Cuir Werner Chaussures de nO06UI8q
   r = min

Wave Bleu Chaussures Wos Silver Peacockblue Divapink Sky Multicolore Mizuno de Femme Running 39 ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.