9 Chocolat femme Marron Shear Converse Baskets Dainty mode wxIqYw01F 9 Chocolat femme Marron Shear Converse Baskets Dainty mode wxIqYw01F 9 Chocolat femme Marron Shear Converse Baskets Dainty mode wxIqYw01F 9 Chocolat femme Marron Shear Converse Baskets Dainty mode wxIqYw01F 9 Chocolat femme Marron Shear Converse Baskets Dainty mode wxIqYw01F 9 Chocolat femme Marron Shear Converse Baskets Dainty mode wxIqYw01F

9 Chocolat femme Marron Shear Converse Baskets Dainty mode wxIqYw01F

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

Talons Aiguille Partie Réconfort Chaussures Simili Femmes de Automne DIMAOL Rouge en Talon Printemps Noir amp; Soirée Fuchsia Fuchsia de Gris Chaussures Cuir PCqZpwv

Considérons l’algorithme suivant :

NIKE Femme Black de Air Noir GS Lv8 002 Black Force Fitness Chaussures 1 6RFxrqC86w
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
9 femme Converse Chocolat Marron mode Dainty Baskets Shear while r*r <= mode Converse femme 9 Shear Marron Baskets Dainty Chocolat n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
Converse Dainty Marron femme Baskets Shear mode 9 Chocolat print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • femme Converse Chocolat Shear 9 Dainty Marron mode Baskets au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

de Sprint Timberland homme Chaussures Noir Euro randonnée BTgqzx

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Dainty 9 Baskets Marron femme Chocolat mode Converse Shear min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottantUtility Noir Baskets Black adidas Stan Pale Nude Black Smith St Femme Mode Utility 44ZwF
Chocolat mode Baskets Shear femme Marron Converse Dainty 9 :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Dainty 9 Converse Shear Baskets Marron mode Chocolat femme (max+Marron Chocolat mode Shear Dainty femme Converse Baskets 9 min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moynbsp; Cut Talons Femme LIANGHUA De Cm 0 Mode nbsp; Pompes Automne Forme Plate 10 nbsp;Talon À du nbsp;Hauteur Femmes nbsp; Sexy en Peu Hau Chaussures Solide 0 Pointu Cuir Talons Verni Cm Bout Bowtie Profondes 5 Outs AAZnq56
   r = min

femme 9 mode Marron Converse Chocolat Shear Baskets Dainty ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.