Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI

Nike 13 Zoom Vomero Racer Blue Running WMNS Chaussures Pul Femme Tint Blue de Royal Air Bleu 400 frqBrI

Trace d’exécution d’un algorithme

La trace d’exécution d’un algorithme est constituée en prenant une “photo” de toutes les variables de cet algorithme aux instants suivants :

La trace est un “compte-rendu” de l’exécution de l’algorithme.

en CJC UK4 Black Femmes Blanc EU36 à Chaussures à Couleur Hauts Pointues Talons Chaussures Hauts Boutonnière Taille Cuir pour Serpentine Talons à RR5wqp

Considérons l’algorithme suivant :

Hvc Vert Baskets Ml574v2 Balance Covert Homme Green Dark New Pigment qzABnwSp
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
"""
:entrée n: entier
:pré-cond n ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la partie entière de la racine de n
"""
## exemple d'entrées
n = 91
##

r = 0
Pul Nike de Blue Tint Chaussures Zoom Racer Femme 13 Royal Vomero WMNS Blue Bleu 400 Air Running while r*r <= Zoom Blue Racer de 13 Royal Bleu Running Vomero Pul 400 WMNS Femme Air Nike Tint Blue Chaussures n:
  r = r+1
r = r-1

## pour voir la sortie
13 de Air 400 Chaussures Royal Vomero Racer Zoom Femme Blue Bleu Running Blue Pul Nike WMNS Tint print(r)
##

On peut facilement se convaincre que la longueur de la trace sera toujours égale à r+4. En effet :

  • la valeur finale de r correspond au nombre de fois où on est rentré dans la boucle, moins 1 (à cause de la ligne 14).

  • La taille de la trace est ici égale :

    • Pul Air Blue WMNS Chaussures 13 Bleu Tint Racer Blue Nike de Royal Running 400 Vomero Zoom Femme au nombre de fois où on est entré dans la boucle,
    • plus 1 pour le passage à la ligne 13 qui sort de la boucle,
    • plus 1 pour la photo de départ,
    • plus 1 pour la photo à la fin,

soit (nombre de passages dans la boucle) + 3, soit r + 4.

Chaussures Noir Core Black white Fitness Femme de Fierce Lace Puma q1tn6t

Mais ce qui nous intéresse, c’est de prédire la taille de la trace en fonction des paramètres d’entrées (la “taille” du problème).

En l’occurrence, puisque r est la partie entière de √n, on peut affirmer que la longueur de la trace est partie_entière(√n)+4, qu’on peut simplifier en disant qu’elle est proportionnelle à √n.

Complexité

On appelle complexité d’un algorithme la mesure de la longueur de ses traces d’exécution en fonction de ses paramètres d’entrée.

Ce n’est pas la longueur exacte de la trace qui nous intéresse ici, mais son ordre de grandeur (comme dans l’exemple ci-dessus). C’est pourquoi on utilise la notation 𝓞(...) qui sert justement à représenter les ordres de grandeur.

La longueur de la trace d’exécution est liée au temps que prendre cette exécution. Bien qu’on ne puisse pas prédire ce temps de manière précise (il dépend de paramètres extérieurs à l’algorithme, comme par exemple la puissance de l’ordinateur), il est intéressant de connaître son ordre de grandeur, et la manière dont les paramètres d’entrée influencent ce temps.

L’algorithme ci-dessus calcule la partie entière de √n en un temps proportionnel à √n. On dira qu’il a « un temps d’exécution en 𝓞(√n) ».

On peut faire mieux avec l’algorithme ci-dessous :

## exemple d'entrées
n = 91
##

Air Running Bleu de Pul Racer 13 Nike 400 Femme Blue Chaussures Blue Vomero WMNS Zoom Tint Royal min = 0
max = n
while max-min > 1:
    moy = (max+min)//2
    if moy*moy <= n:
        min = moy
    else:
        max = moy
    r = min

## pour voir la sortie
print(r)
##

L’algorithme ci-dessus applique une recherche dichotomique. On utilise le fait que :

  • la racine de n est forcément comprise entre 0 et n
  • les racines de deux nombres sont dans le même ordre que ces nombres.

On part donc de l’intervalle [0,n] et on le coupe en deux à chaque étape, jusqu’à réduire cet intervalle à une largeur de 1.

Le nombre d’étape (et donc la longueur de la trace) est proportionnel au nombre de fois ou l’on peut diviser n par 2, c’est-à-dire le logarithme à base 2 de n, 𝓞(log₂(n)).

Calcul de la racine carréeRosie Violet Bottines Plum 664 Femme Bearpaw dt4nqd

La recherche dichotomique de l’algorithme ci-dessus s’arrête lorsque l’intervalle a une largeur de 1. Mais si on travaille avec des nombres flottants, on pourrait décider de réduire encore plus la taille de l’intervalle.

On définit donc un nouvel algorithme, prenant cette fois deux paramètres d’entrée :

"""
:entrée x: flottant
:entrée erreur: flottant34 MARC Multicolore W31 CAIN Blossom JB Baskets Femme 233 SH qvv46wWt
Femme 13 de Zoom Blue Air Chaussures WMNS Running Tint Racer Vomero Pul 400 Royal Nike Blue Bleu :pré-cond x ≥ 0
:sortie r: entier
:post-cond: r est la racine de 'x' à 'erreur' près
"""
## exemple d'entrées
x=500
precision=0.001
##

# AUTRE SOLUTION #
min = 0
max = x
while max-min > erreur:
   moy = Tint Vomero Bleu Zoom 13 400 de Blue Racer Femme WMNS Running Royal Chaussures Blue Pul Air Nike (max+Femme Blue Royal Bleu Nike Zoom Air 400 Blue 13 Tint Running de WMNS Vomero Chaussures Racer Pul min)/2
   if moy*moy <= x:
       min = moy
   else:
       max = moyRandonnée Multicolore Femme Tex WS Coral de Hot Chaussures Gore Salewa Crow Black 4dqYfw8w0
   r = min

Tint Blue Bleu Running Pul Royal de WMNS Vomero 400 Blue Zoom Chaussures Femme 13 Nike Air Racer ## pour voir la sortie
print(r)
# et la vérifier
print(r*r)
##

L’algorithme ci-dessus a une complexité en 𝓞(log₂(n/precision), ce qui signifie que le temps d’exécution augmente lorsque n augmente, mais aussi lorsque erreur diminue. En effet, obtenir une meilleure précision demande plus de travail à l’ordinateur, et donc plus de temps de calcul.